• 題目鏈接：

  連我們都只有紙質題目...話說雅禮集訓都是這樣的嗎...

• 大意

  0維基本圖形是一個點

  1維基本圖形是一條線段

  2維基本圖形是一個正方形

  3維基本圖形是一個正方體

  4維基本圖形是...

  求\(n\)維基礎圖形中有多少個\(m\)維基礎圖形\((n>=m)\)並對\(998244353\)取模

• 分析

  手玩樣例打表吼啊

  當然還是要暗中觀察一下啦

  線段變成正方形,點數變為原來兩邊，邊數除了變為原來兩倍之外還要加上原來點數所對應連起來的邊

  正方形變正方體也類似

  於是我就yy出一個遞推式\(num[x][m]=num[x-1][m]*2+num[x-1][m-1]\)

  \(num[x][m]\)

  表示\(x\)維基礎圖形中含有\(m\)維基礎圖形的數量

  然後我們可以打一張表

  然後就有dalao發現了規律（我比較傻考場上都手玩出每一項能整除2的冪都沒發現規律）

  \(num[n][m]/2^{n-m}=C^n_m\)

  然後就ok了

• 註意

  在訂正這道題時發現幾個值得註意的地方

  • 線性求逆元時我原來的方法不行

    原來我這麽線性求逆元

    inv[i]=(-(p/i)*inv[p%i]%p);

    結果我發現數字一大就GG了

    這是大佬的線性求逆元

    inv[i]=(ll)(p-(p/i))*inv[p%i]%p;

    這就很穩了

  • 一個有趣的性質

    逆元的階乘是原來數字階乘的逆元

    很有趣，好象可證

• 代碼：

  #include <iostream>
  #include <cstdio>
  #include <cstdlib>
  #include <algorithm>
  #include <cstring>
  #include <cctype>
  #include <map>
  #define ri register int 
  #define ll long long 
  using namespace std;
  const int maxn=100005;
  const int inf=0x7fffffff;
  const int p=998244353;
  template <class T>inline void read(T &x){
   x=0;int ne=0;char c;
   while(!isdigit(c=getchar()))ne=c==‘-‘;
   x=c-48;
   while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
   x=ne?-x:x;
   return ;
  }
  int inv[maxn],twopow[maxn],fac[maxn];
  inline void pre(){
   inv[0]=inv[1]=1,fac[1]=1,twopow[0]=1,twopow[1]=2;
   for(ri i=2;i<=100002;i++){
       fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%p;
       inv[i]=(ll)(p-(p/i))*inv[p%i]%p;
       twopow[i]=(ll)(twopow[i-1]<<1)%p;
       //cout<<fac[i]<<‘ ‘<<inv[i]<<‘ ‘<<twopow[i]<<endl;
   }
   for(ri i=2;i<=100002;i++){
       inv[i]=(ll)inv[i]*inv[i-1]%p;//比較神奇,逆元的階乘是原來數的階乘的逆元
   }
   return ;
  }
  int t;
  inline int solve(int m,int n){
   if(m==0)return twopow[n];
   if(n==m)return 1;
   return (ll)fac[n]*inv[n-m]%p*twopow[n-m]%p*inv[m]%p;
  }
  int main(){
   int n,m;
   read(t);
   pre();
   while(t--){
       read(n),read(m);
       printf("%d\n",solve(m,n));
   }
   return 0;
  }
   
  

Yali7月集訓Contest2 T1 Cube 題解