七、(本題10分) 設 $A_1,A_2,\cdots,A_m$ 為 $n$ 階實對稱陣, 其中 $A_1$ 為正定陣, 並且對任意的 $2\leq i<j\leq m$, $A_iA_1^{-1}A_j$ 都是對稱陣. 證明: 存在非異實方陣 $C$, 使得$$C‘A_1C=I_n,\,\,\,\,C‘A_iC=\mathrm{diag}\{\lambda_{i1},\lambda_{i2},\cdots,\lambda_{in}\},\,\,i=2,\cdots,m,$$ 其中 $\{\lambda_{i1},\lambda_{i2},\cdots,\lambda_{in}\}$ 是 $A_1^{-1}A_i$ 的全體特征值.

證明 由 $A_1$ 的正定性可知, 存在非異實方陣 $Q$, 使得 $Q‘A_1Q=I_n$, 特別地, 我們有 $A_1^{-1}=QQ‘$. 由 $A_iA_1^{-1}A_j$ 是對稱陣可知 $$A_iQQ‘A_j=(A_iQQ‘A_j)‘=A_j‘QQ‘A_i‘=A_jQQ‘A_i,$$ 從而有 $$(Q‘A_iQ)(Q‘A_jQ)=(Q‘A_jQ)(Q‘A_iQ)\,\,(\forall\,2\leq i<j\leq m),$$ 即 $\{Q‘A_iQ,\,2\leq i\leq m\}$ 是一組兩兩乘法可交換的實對稱陣. 由復旦高等代數教材的習題 9.5.10 或高代白皮書的例 9.107 可知, 上述 $m-1$ 個實對稱陣 $Q‘A_iQ$ 可同時正交對角化, 即存在正交陣 $P$, 使得 $$P‘Q‘A_iQP=\mathrm{diag}\{\lambda_{i1},\lambda_{i2},\cdots,\lambda_{in}\},\,\,i=2,\cdots,m.$$ 此時 $P‘Q‘A_1QP=P‘I_nP=I_n$, 故只要令 $C=QP$ 即得所要的同時合同對角化. 註意到 $\{\lambda_{ij},\,1\leq j\leq n\}$ 是 $|\lambda A_1-A_i|=0$ 的根, 從而是 $A_1^{-1}A_i$ 的全體特征值. $\Box$

註 1 本題是一個正定實對稱陣和一個實對稱陣可同時合同對角化的推廣 (請參考高代白皮書的例 9.66). 容易驗證: 題目中的條件“對任意的 $2\leq i<j\leq m$, $A_iA_1^{-1}A_j$ 都是對稱陣”是可同時合同對角化成立的充分必要條件.

註 2 本題做對的同學為: 張菲諾、劉宇其、高誠、陳域、郭宇城、許智錕、文豪、史書珣、戴逸翔、張君格、余張偉、季俊曄、魏一鳴、王成文健、張昰昊、朱柏青、汪子怡、王炯逍、王語姍、張嘉璇.

復旦大學2017--2018學年第二學期（17級）高等代數II期末考試第七大題解答