\(>Codeforces\space992 E. Nastya and King-Shamans<\)

題目大意 : 給你一個長度為 \(n\) 的序列，有 \(q\) 次操作，每一次操作將一個數 \(A_i\) 改為另外一個數。每一次操作結束時，你需要找出一個位置 \(x\) 滿足 \(A_x = sum_{x-1}\) 其中 \(sum\) 表示前綴和

$n , q \leq 2 \times 10^5 0 \leq A_i \leq 10^9 $

解題思路 :

博主親測分塊加均攤分析的做法會因為常數太大 \(TLE\) 掉，在此就不多討論了

問題要求出滿足 \(A_x = sum_{x-1}\)

我們考慮從 \(A_{p=1}\) 開始跳，每一次跳到其後面一個最小的 \(k - 1\) ，滿足\(sum_k \geq 2 \times sum_p\)

可以證明如果有答案且 \(sum_{ans} > 0\)，那麽答案一定在所有的 \(k\) 之中產生

不妨用反證法來證明，假設當且跳到點 \(k\) ，接下來選取的點是 \(k‘ \ (k < k‘)\) ，對於 \(k < i < k‘ - 1\)

如果說 \(i\) 是答案的話，設 \(y\) 為 第一個滿足 $ sum_y \geq 2 \times sum_i$ 的點。

因為\(sum_y \geq sumk\) 所以必然有 $ y \geq k‘ $ ，如果 \(i < k‘ - 1\) 那麽 $ y - i > 1$ , \(i\) 不是答案

所以證明了這樣跳，如果有答案的話答案必然在跳到的點上

所以可以用樹狀數組維護前綴和，每一次暴力二分跳，跳 \(log\) 次就能跳完，總復雜度是\(O(nlogn^3)\)

/*program by mangoyang*/
#include<bits/stdc++.h>
#define inf (0x7f7f7f7f)
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
typedef long long ll;
using namespace std;
template <class T>
inline void read(T &x){
    int f = 0, ch = 0; x = 0;
    for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == ‘-‘) f = 1;
    for(; isdigit(ch); ch = getchar()) x = x * 10 + ch - ‘0‘;
    if(f) x = -x;
}
#define N (300005)
#define int ll
ll c[N], a[N], n, q;
inline void add(int x, ll y){ for(int i = x; i <= n; i += i & -i) c[i] += y; }
inline ll sum(int x){ ll ans = 0; for(int i = x; i; i -= i & -i) ans += c[i]; return ans; }
inline void solve(){
    int x = 1;
    if(sum(1) == 0) return (void)( puts("1") );
    while(x < n){
        int l = x + 1, r = n, k = x, now = 2 * sum(x);
        if(sum(x + 1) == now) return (void) (printf("%d\n", x + 1));
        while(l <= r){
            int mid = l + r >> 1;
            if(sum(mid) < now) k = mid, l = mid + 1; else r = mid - 1;
        }
        if(k + 1 > n) break;
        x = (k == x) ? k + 1 : k;
    }
    puts("-1");
}
main(){
    read(n), read(q);
    for(int i = 1; i <= n; i++) read(a[i]), add(i, a[i]);
    for(int i = 1; i <= q; i++){
        int x, y; read(x), read(y);
        add(x, y - a[x]), a[x] = y, solve();
    }
    return 0;
}
 

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