常見的均值不等式的使用技巧

均值不等式這一素材，是高中數學中少見的幾個需要同時驗證成立的多條件素材。由於要多頭驗證，所以學生很不習慣，感覺很難掌握。

已知兩個正數\(a，b\)，則有(當且僅當\(a=b\)時取到等號)，高考中重點考查這一部分：$ a+b\ge2\sqrt{ab}(a，b>0)$

均值不等式的使用 前提條件： 正、定、等同時成立。

均值不等式中還有一個需要註意的地方：\(a，b\in R\)

如已知向量的內積\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1，\)則有人這樣做\(\vec{a}+\vec{b} \ge 2\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{b}}=2\)

一、從表達式中的字母內涵入手理解公式

\(a+b\ge 2\sqrt{ab}\)，如\(a、b\)可以是數字，可以代數式，如單項式、多項式；整式、分式、指數式、對數式、三角式等等

比如這些表達式都可以考慮用均值不等式，\(x+\cfrac{2}{x}(x>0)\)，\(\cfrac{2}{x}+\cfrac{x}{2}(x>0)\)，\(2^x+2^y\ge 2\sqrt{2^{x+y}}\)，\(log_a^b+log_b^a(log_a^b>0)\)，\(sinx+\cfrac{1}{sinx}(sinx>0)\)

當你看了以上這麽多的式子時，你是否想過它們能不能用一個式子統一刻畫嗎？仔細想想，再看看是不是能用$ a+b\ge2\sqrt{ab}(a，b>0)$來表示，如果這樣讀書，課本自然就越讀越薄了。

形如這樣的\(x+\cfrac{k}{x}(k>0)\)，當\(x>0\)時考慮直接使用； 其實這是對勾函數\(f(x)=x+\cfrac{k}{x}(k>0)\)在\(x>0\)時的圖像最低點。

三、公式變形後使用型( 單個使用技巧）

• 負化正， \(y=x+\cfrac{2}{x} (x<0)\)

• 拆添項， \(y=x+\cfrac{2}{x-1} (x>1)\)

• 湊系數， \(2x+3y=4,\) 求\(xy\)的最大值\(xy=\cfrac{6xy}{6}=\cfrac{(2x)(3y)}{6}\leq \cfrac{1}{6}\cdot \Big(\cfrac{2x+3y}{2}\Big)^2\)

• 在指數位置使用，\(2^x+4^y=4\)，則\(x+2y\)的最大值是________.

分析：\(4=2^x+4^y \ge 2\sqrt{2^{x+2y}}\)，則有\(2^2 \ge 2^{x+2y}\)，故\(x+2y \leq 2\)。

• 連續多次使用 均值不等式

\(\fbox{例0}\)設\(a,b\)均為正實數，求證：\(\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}+ab\ge 2\sqrt{2}\).
分析：由於\(a>0,b>0\)，故有\(\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}\ge 2\sqrt{\cfrac{1}{a^2}\cdot\cfrac{1}{b^2}}=\cfrac{2}{ab}\)， 當且僅當\(\cfrac{1}{a^2}=\cfrac{1}{b^2}\)，即\(a=b\)時等號成立；
又\(\cfrac{2}{ab}+ab\ge 2\sqrt{\cfrac{2}{ab}\cdot ab}=2\sqrt{2}\)，當且僅當\(\cfrac{2}{ab}=ab\)時等號成立；
所以\(\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}+ab\ge \cfrac{2}{ab}+ab\ge 2\sqrt{2}\) 當且僅當\(\begin{cases}\cfrac{1}{a^2}=\cfrac{1}{b^2}\\\cfrac{2}{ab}=ab\end{cases}\)，即\(a=b=\sqrt[4]{2}\)時取等號。

• 求限定條件下的最值高考高頻考點

方法：常數代換和乘常數再除常數，

如已知\(2a+3b=2，a>0，b>0\)，求\(\cfrac{3}{a}+\cfrac{2}{b}\)的最小值。

\(\cfrac{3}{a}+\cfrac{2}{b}=\cfrac{1}{2}\cdot (2a+3b）(\cfrac{3}{a}+\cfrac{2}{b})=\cfrac{1}{2}\cdot (6+6+\cfrac{4a}{b}+\cfrac{9b}{a})=\cdots\)

組合使用

【引例1】已知\(a>1，b>0， a+b=4\)，求\(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b}\)的最小值。(\(a+b=4\Longrightarrow (a-1)+b=3\))

【引例2】已知\(a>1，b>2， a+b=4\)，求\(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b-2}\)的最小值。(\(a+b=4\Longrightarrow (a-1)+(b-2)=1\))

• 構造\(ax+\cfrac{b}{x}\)型(高考中的高頻變形)，

方法思路：此處應該聯系分離常數方法，和化為部分分式的變形技巧以及對勾函數或叫耐克函數；

比如，形如\(\cfrac{ax^2+bx+c}{dx+e}(a，b，c，d，e為常數)\xrightarrow[代換法]{配湊法}ax+\cfrac{b}{x}\)型(分子上使用均值不等式)

形如\(\cfrac{dx+e}{ax^2+bx+c}(a，b，c，d，e為常數)\xrightarrow[代換法]{配湊法}\cfrac{1}{ax+\cfrac{b}{x}}\)型(分母上使用均值不等式)

• 均值不等式失效時，需要用到對勾函數的單調性

\(\fbox{例2}\)已知正實數\(a,b\)滿足\(a+2b=1\)，求\(a^2+4b^2+\cfrac{1}{ab}\)的最小值。

法1：【錯解】由\(a^2+4b^2+\cfrac{1}{ab}\ge 4ab+\cfrac{1}{ab}\ge 2\sqrt{4}=4\)，故所求的最小值是4。

錯因分析：第一次使用均值不等式時等號成立的條件是\(a=2b\)，又由於必須滿足條件\(a+2b=1\)，可解得\(a=\cfrac{1}{2}\)，\(b=\cfrac{1}{b}\)；而第二次使用均值不等式時等號成立的條件是\(4ab=\cfrac{1}{ab}\)，但是此時\(4ab=\cfrac{1}{2}\)，而\(\cfrac{1}{ab}=8\)，二者不可能相等，故使用錯誤。

法2、由\(1=a+2b\ge 2\sqrt{2ab}\)，可得\(0<ab\leq \cfrac{1}{8}\)，當且僅當\(a=2b\)，即\(a=\cfrac{1}{2}\)，\(b=\cfrac{1}{4}\)時取等號；

則\(a^2+4b^2+\cfrac{1}{ab}=(a+2b)^2-4ab+\cfrac{1}{ab}=1-4ab+\cfrac{1}{ab}\)，令\(ab=t\in(0，\cfrac{1}{8}]\)，

則所求為\(1-4t+\cfrac{1}{t}=f(t)\)，\(t\in(0，\cfrac{1}{8}]\)，又\(f'(t)=-4-\cfrac{1}{t^2}<0\)，故函數\(f(t)\)在\((0，\cfrac{1}{8}]\)上單調遞減，故最小值為\(f(\cfrac{1}{8})=\cfrac{17}{2}\)。

\(\fbox{均值不等式在解答題中的使用角度}\)

• 1、在三角函數和解三角形中
• 2、例談學習方法的改造和提升
• 3、配湊法、換元法
• 4、對勾函數的單調性
• 5、理解數學的本質提高學生數學素養