數論(1)
阿新 • • 發佈:2018-07-16
單位 人性 改變 nbsp 情況 b+ 其中 例子 是我
歐幾裏得算法
即輾轉相除法,證明如下。
基本算法:設a=qb+r,其中a,b,q,r都是整數,則gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
第一種證明:
a可以表示成a = kb + r,則r = a mod b
假設d是a,b的一個公約數,則有
d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公約數
假設d 是(b,a mod b)的公約數,則
d | b , d |r ,但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公約數
因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的,其最大公約數也必然相等,得證
乘法逆元
乘法逆元官方定義:
群G中任意一個元素a,都在G中有唯一的逆元a‘,具有性質aa‘=a‘a=e,其中e為群的單位元。
然而我太菜了並沒有看懂。
然而百度百科非常人性化,它還有配套的例子!
例子如下:
例如:4關於1模7的乘法逆元為多少?
4X≡1 mod 7
這個方程等價於求一個X和K,滿足
4X=7K+1
其中X和K都是整數。
這就很容易理解了。
如果有ax≡1(modp),則稱x是mod p意義下a的乘法逆元。
其實就是a乘一個數在什麽情況下%p什麽時候=1。
改變一下形式就是ax=pk+1的一組解,求x即可。
通過費馬小定理,可以得到一個新的算法。
即(a/b)%p=1;但是我們無法直接求1/b的值,所以我們就把b/1設成c,只須求ac%p=1即可。
費馬小定理可得:b%p的逆元 = b^p-2(mod p);
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