形態形成場（矩陣乘法優化dp）

短信中將會涉及前\(k\)種大寫字母，每個大寫字母都有一個對應的替換式\(Si\)，替換式中只會出現大寫字母和數字，比如\(A→BB,B→CC0,C→123\)，代表 \(A=12312301231230,B=1231230,C=123\)。現在對於給定的替換式，求字符 AA 所代表的串有多少子串滿足：

• 這個子串為單個字符\(0\)或沒有前導\(0\)。
• 把這個子串看作一個十進制數後模\(n\)等於\(0\)。

答案對\(r\)取模。對於100%的數據，$2 \leq r \leq 10^9; 1 \leq k \leq 26; 4 \leq \left| S_i \right| \leq 100 $。

首先可以想出一個暴力dp：\(f[i][j]\)表示到第i位時，模n為j的串的個數，那麽顯然\(f[i][(10j+s[i])\%n]+=f[i-1][j]\)。復雜度是\(O(len\times n)\)。

但是這樣只能拿60分，並不能過這道題。怎麽辦呢？觀察一下題目，其實就是將一個字符的字符串展開以後dp，並且最多展開26層，同一個字符可能被展開多次。有沒有想到矩陣優化dp？由於每次\(f[s[i]\%n]\)要加上1，因此不能用傳統的矩陣遞推數列，還必須在向量中加上一維常量1。為了方便，再在向量中加一維ans。向量長這樣：

\((f_0, f_1, f_2,\dots,f_{n-1},ans,1)\)

這樣轉移矩陣\(g[n+1][n+1]\)就可以被描述為：

\(\left [ \begin{matrix} & 第1列 & 第i列 & 第n列 & 第n+1列 \\第一行 & \dots & \dots & 1&0 \\ 第二行 & \dots & \dots & 0 & 0 \\ 第三行 & \dots & \dots & 0 & 0 \\ \dots \\ 第n行 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 第n+1行 & 0 & [s[i]=ch]*[ch!='0'] & 0 & 1\end{matrix} \right ]\)

先將矩陣進行處理，再把初始向量和矩陣相乘。\((0, 0, \dots,0, 1)*g[n+1][n+1]=(f_0, f_1, \dots,ans,1)\)，答案就是\(f_0+ans\)。由於初始向量只有第n+1項是1，所以\(f_0+ans=g[n+1][0]+g[n+1][n]\)。

註意單個字符0不能被漏掉統計，因此需要記錄串中的0的個數。

#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int maxk=30, maxn=40, maxl=105;
int n, r, k, zero[maxn];
char s[maxk][maxl];
struct Mat{
    int g[maxn][maxn];
}matrix[maxn], C;
void up(int &x, int y){ x+=y-r; x=(x<0?x+r:x); }
Mat& operator *(const Mat &A, const Mat &B){
    memset(C.g, 0, sizeof(C.g));
    for (int i=0; i<=n+1; ++i)
    for (int j=0; j<=n+1; ++j)
    for (int k=0; k<=n+1; ++k)
        up(C.g[i][j], 1ll*A.g[i][k]*B.g[k][j]%r);
    return C;
}

void build(int id){  //復合字符'A'+i 所對應的轉移矩陣 
    int len=strlen(s[id]), num;
    Mat &now=matrix[id], trans;
    for (int i=0; i<=n+1; ++i) now.g[i][i]=1;  //相當於直接讓轉移矩陣相乘 
    for (int i=3; i<len; ++i){
        if (isdigit(s[id][i])){
            num=s[id][i]-'0';
            memset(trans.g, 0, sizeof(trans.g));
            trans.g[0][n]=trans.g[n][n]=trans.g[n+1][n+1]=1;
            for (int j=0; j<n; ++j) trans.g[j][(j*10+num)%n]=1;
            if (num) trans.g[n+1][num%n]=1;
            else up(zero[id], 1);
            now=now*trans;
        } else {
            num=s[id][i]-'A';
            now=now*matrix[num];
            up(zero[id], zero[num]);
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d%d", &n, &r, &k);
    for (int i=0; i<k; ++i) scanf("%s", s[i]);
    for (int i=k-1; ~i; --i) build(i);
    int ans=zero[0]; up(ans, matrix[0].g[n+1][0]);
    up(ans, matrix[0].g[n+1][n]);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

形態形成場（矩陣乘法優化dp）