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雙人平等博弈（理論應用前提）

• 信息完全公開
• 雙方輪流行動
• 面對同一局面,雙方的決策集合相同
• 一般來說,規定不能操作者輸

• 遊戲局面不會成環,有限步之後遊戲必定結束

  \(N\)態與\(P\)態

• 首先把結束的局面置為\(P\)態
• 對於一個\(P\)態,找到所有能轉移到它的狀態,它們全部是\(N\)態

• 搜到一個狀態時,它還沒有被篩掉,就是\(P\)態

很多題目中, P 態之間不可直接轉移。

一些性質

• \(SG\)值異或和為\(0\)即後者勝，對應\(P\)態。
  證明：每當前者把異或和改變，使其不為\(0\)，後者總能把異或和重新變為\(0\)

  （拿掉相同數量的石子。並且這一定可行，否則異或和怎麽為\(0\)？）。則最後一定是前者面對石子取完的情況。
  而若不為\(0\)，前者一開始把異或和變為\(0\)，之後與後者對著幹（使異或和為\(0\)）即可。

• \(SG(A+B)=SG(A)\bigoplus SG(B)\)

• 如果交換勝負條件，先手勝利：
  1、存在\(SG(x)>1\)，且異或和不為\(0\)
  2、\(SG(x)=1\)，且有偶數堆石子

  如何計算\(SG\)值

  總的來說，常規計算\(SG\)值是一個遞推的過程。
  一般計算(推導）過程，就是對 所有前驅狀態的\(SG\)值 的異或和取\(mex\)。

而根據上面提到的性質二，可以得到一個遞推式：
(\(mex\)

應用場景

階梯博弈

有\(N\)堆石子放在\(N\)層階梯上，每次選擇一層的若幹石子,放入下一層。(特別地,\(1\)層的石子就被扔掉)

結論:計算所有奇數層石子數的異或和,得到整個遊戲的\(SG\)

其實這玩意兒講不完的，還得自己去看課件。

有趣的題目

模板題

• [X] nim遊戲 戳

裸板子。

• [x] Bash遊戲 戳

只有一堆，限制一次最多只能取\(k\)個石子。

則\(SG[n]=n\%(k+1)\)（不信可以遞推試試）

中等題

• [ ] CF 731E 戳

• [ ] CF 794E 戳

• [X] [HEOI2014]人人盡說江南好 戳

• [ ] Alice和Bob又在玩遊戲 戳

• [X] CF 768E 戳

• [ ] [ZJOI2009]取石子遊戲 戳

\(SG\)函數相關

• [x] [ZJOI2009]染色遊戲 戳

我在題解中寫了一份SG計算教程？？？

• [ ] [HAOI2015]數組遊戲 戳

• [ ] [HNOI2014]江南樂 戳

• [ ] CF 494E 戳

• [ ] CF 138D 戳

• [X] A tree game 戳

專題總結（博弈論）