include int rip code cpp esp 一次 res lse

Description

　　
?　　 現在 Yopilla 和 yww 要開始玩遊戲！
　　
　　? 他們在一條直線上標記了 \(n\) 個點，從左往右依次標號為 \(1, 2, ..., n\) 。然後在每個點上放置一些棋子，其中第 \(i\) 個點放置了 \(a_i\) 個棋子。接下來，從 Yopilla 開始操作，雙方輪流操作，誰不能操作誰輸。每次的操作是：當前操作方選定一個有棋子的點 \(x\) ，然後選擇至少一個點 \(x\) 上的棋子，然後把這些棋子全都移動到點 \(x / prime\) 上，其中 \(prime\) 是一個質數，且 \(prime \mid x\)
　　
　　? Yopilla 最初一次操作的策略是隨機的：隨機找到一個有棋子的點 \(x\)

，隨機選擇正整數個棋子 \(y\) ，隨機轉移到一個能轉移到的點 \(z\) 。所有棋子可以看作是一樣的，換句話說：兩種操作不同，當且僅當三元組 \((x, y, z)\) 不同。之後雙方都按照最優策略來操作。
　　
?　　 Yopilla 想要預測，他能夠獲勝的概率是多少，答案對 \(998244353\) 取模。
　　
?　　
　　
　　
　　

Solution

　　
?　　 我們發現，對於每一個數，如果以其冪指數之和為下標來將它們重新排列成一個數組，這個問題就變成了階梯\(Nim\)問題。一次操作，相當於將一個數移動到其左邊。不能移動者輸。
　　
?　　 事實上我們不需要實現這個重排操作。我們只需要知道每個數重排後是否在奇位置即可。

　　
?　　 記輸入數列為\(a\)，我們統計出所有處於奇位置的數\(x\)的\(a_x\)的異或和\(sum\)。
　　
?　　 我們要統計Yopilla一開始的隨機操作一共有多少種可能、以及總共有多少種可能，使得操作後局面的先手必敗。前者很好計算，就是\(\sum_x a_x*b_x\)，其中\(b_x\)表示\(x\)這個數的不同質因子個數。
　　
?　　 後者如何計算呢？對操作分類：（1）移動奇位置的數至偶位置、（2）移動偶位置的數至奇位置。
　　
?　　 我們枚舉所有奇位置的數。假設對該位置\(i\)操作後，總異或和\(sum\)等於0，即操作後先手必敗，則\(a_i\)應該由\(a_i\)變成\(target=sum\; \text{xor}\; a_i\)，
　　
　　如果原值比目標值大，那麽顯然（1）容易滿足，選出\(a_i-target\)個數，並將它們通過任意一個質因子移動到偶位置，一共有\(b_i\)種合法情況。
　　
　　如果原值與目標值相等，則什麽也做不了，一改就不滿足要求，不作為合法情況考慮。
　　
　　若原值小於目標值，則考慮（2），枚舉所有能轉移到\(i\)的偶位置\(j=i*p\)（其中\(p\)是枚舉的質數），如果\(a_j \ge target-a_i\)，那麽合法情況就多了一種，因為\(j\)可以選\(target-a_i\)個數通過唯一一種方式——除去\(p\)——來到達\(i\)。
　　
?　　 那麽概率也就很好計算了。
　　
　　
　　

Code

　　

#include <cstdio>
using namespace std;
const int N=1000005,MOD=998244353;
int n,a[N];
bool vis[N];
int p[N],pcnt,b[N],c[N];
void sieve(){
    int up=1e6;
    for(int i=2;i<=up;i++){
        if(!vis[i]){
            p[++pcnt]=i;
            b[i]=c[i]=1;
        }
        for(int j=1;j<=pcnt&&i*p[j]<=up;j++){
            int x=i*p[j];
            vis[x]=true;
            c[x]=c[i]^1;
            if(i%p[j]==0){
                b[x]=b[i];
                break;
            }
            b[x]=b[i]+1;
        }
    }
}
void readData(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",a+i);
}
inline int fmi(int x,int y){
    int res=1;
    for(;y;x=1LL*x*x%MOD,y>>=1)
        if(y&1) res=1LL*res*x%MOD;
    return res;
}
void solve(){
    int x=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        if(c[i]) x^=a[i];
    int legal=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(c[i]){
            int best=x^a[i];
            if(best<a[i]) legal+=b[i];
            else{
                int delta=best-a[i];
                if(!delta) continue;
                for(int j=1;j<=pcnt&&i*p[j]<=n;j++) 
                    if(a[i*p[j]]>=delta) legal++;
            }
        }
    int all=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        (all+=1LL*a[i]*b[i]%MOD)%=MOD;
    int ans=1LL*legal*fmi(all,MOD-2)%MOD;
    printf("%d\n",ans<0?ans+MOD:ans);
}
int main(){
    sieve();
    readData();
    solve();
    return 0;
}

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【洛谷P4706】取石子