極大子矩陣

一個\(n*m\)的矩陣中有\(s\)個位置是障礙，問最大的不包含障礙的矩形面積
最大子矩形問題-王知坤 （對於這篇論文.....吐槽無力

雖然實現..至少它的思路很對嘛

枚舉所有的極大子矩形找出最大子矩形(s^2)

悲慘經歷：找到一份題解，學學學學學學學。WA了。改改改改改改改...WA了（此處循環1w次，然後氣憤的測題解，WA了........
每個極大子矩形的每一條邊外側一定有至少一個障礙或與邊界重合，不然將邊向外移即可獲得更大子矩形，不滿足極大。因此只需要按\(y\)排好序後依次枚舉每個障礙作為左端點，然後向右找每一個點作為右端點，向上向下找出此時的上邊界和下邊界即找到了一個極大子矩形。
考慮實現找上下邊界的方法

1.先把邊界設為上下界，找到第一個點設為右邊界

2.比較這個點，若在原點和上界間的話將其設為上界，在原點和下界間的話設為下界，與原點同行的話break即可
3.再看下一個點，反復即可

         #include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

int i,m,n,j,k,ans,b[5001][5001];
char c;
struct vv
{
   int x,y;
} a[1000001];

bool cmp1(vv a,vv b) {return a.x<b.x;}
bool cmp2(vv a,vv b) {return a.y<b.y;}
bool cmp3(vv a,vv b) {return a.y>b.y;}

void dfs()
{
   for(int i=1;i<k;i++)
   {
       int maxx=n, minn=1;
       for(int j=i+1;j<=k;j++)
       {
           if(a[j].y==a[i].y) continue; 
           ans=max(ans,(abs(a[j].y-a[i].y)-1)*(maxx-minn+1));
           if((a[j].x<=a[i].x)&&(a[j].x+1>minn)) minn=a[j].x+1;
           if((a[j].x>=a[i].x)&&(a[j].x-1<maxx)) maxx=a[j].x-1;
           if(-minn+maxx+1<=0) break;
       }
   }
}

int main()
{
   scanf("%d%d%d",&n,&m);
   for(i=1;i<=n;i++)
       for(j=1;j<=m;j++)
       {
           scanf("%d",&j);
           if(j) a[++k].x=i,a[k].y=j;
       }

   a[++k].x=0; a[k].y=0;  a[++k].x=0; a[k].y=m+1;
   a[++k].x=n+1; a[k].y=0;  a[++k].x=n+1; a[k].y=m+1;
   sort(a+1,a+1+k,cmp1);
   for(i=2;i<=k;i++) ans=max(ans,(a[i].x-a[i-1].x-1)*m);
   sort(a+1,a+1+k,cmp2);  dfs();
   sort(a+1,a+1+k,cmp3);  dfs();
   printf("%d",ans);
}
 

由於有時障礙可能非常密集，這個方法就會被卡掉

懸線\(O(nm)\)

由於極大子矩陣的上邊界上方一定有一個障礙，所以找出每一個點上方的最近障礙點即構成一條懸線
然後把這條懸線左右移動直到遇到障礙及構成了一個極大子矩形。
枚舉每一個點，只要能夠\(O(1)\)的間找到其為下端對應懸線和向左右能夠移動距離即可在\(O(nm)\)的時間中找到答案。
考慮預處理方法
1. 懸線長度\(h[i][j]\) 如果\(i,j\)上方的點是障礙， \(h[i][j]=1\)，否則\(h[i][j]=h[i-1][j]\)
2. 左右移動距離,向左移動最大距離\(l[i][j]=max(\)當前行左邊最近障礙坐標\(+1,l[i-1][j])\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

int i,m,n,j,k,a[5001][5001],b[5001][5001],l[5001][5001],r[5001][5001],g,h,ans,las;
char c;
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m);
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=m;j++)
            scanf("%d",a[i][j]);

    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=m;j++)
            if(!a[i][j]) b[i][j]=b[i-1][j]+1;
                if(a[i-1][j]) b[i][j]=1;

    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        las=1;
        for(j=1;j<=m;j++)
        {
            if(a[i-1][j]) l[i][j]=las;
            else l[i][j]=max(l[i-1][j],las);    
            if(a[i][j]) las=j+1;    
        }
    }

    for(i=1;i<=m;i++) r[0][i]=m;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        las=m;
        for(j=m;j>=1;j--)
        {
            if(a[i-1][j]) r[i][j]=las;
            else r[i][j]=min(r[i-1][j],las);
            if(a[i][j]) las=j-1;
        }
    }
            
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=m;j++)
            if(!a[i][j]) ans=max(ans,3*(b[i][j])*(r[i][j]-l[i][j]+1));
    printf("%d",ans);
}

最大子矩形