「SPOJ5971」 LCMSUM - 數論數學
阿新 • • 發佈：2018-08-16
line lld typedef tchar fin span lse har gis
再次轉化，倒著求和：
\[ Ans=\frac12\cdot(\sum_{i=1}^{n-1}\frac{in}{gcd(i,n)}+\sum_{i=n-1}^1\frac{in}{gcd(i,n)}) \]
因為 \(gcd(i,n)=gcd(n-i,i)\)
所以：
\[ Ans=\frac12\cdot(\sum_{i=1}^{n-1}\frac{in}{gcd(i,n)}+\sum_{i=n-1}^1\frac{in}{gcd(n-i,n)}) \]
然後我們發現分母相同於是合並：
\[ Ans=\frac12\cdot(\sum_{i=1}^{n-1}\frac{n^2}{gcd(i,n)}) \]
考慮枚舉 \(gcd\) ,先算上 \(n\) ：
\[ Ans=\frac12n\cdot\sum_{d|n}\frac{n}{d}\cdot \sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)==d] \]
繼續：
\[ Ans=\frac12n\cdot\sum_{d|n}\frac{n}{d}\cdot \sum_{i=1}^{\frac nd}[gcd(i,n)==1] \]
發現後面的其實就是 \(\phi(\frac {n}d)\) ：
\[ Ans=\frac12n\cdot\sum_{d|n}\frac{n}{d}\cdot\phi(\frac{n}d) \]
然後等價於:
\[ Ans=\frac12n\cdot\sum_{d|n}d\cdot\phi(d) \]
然後把多算的減掉:
\[ Ans=(\frac12n\cdot\sum_{d|n}d\cdot\phi(d))-\frac12n \]
然後把少算的加回去:
\[ Ans=(\frac12n\cdot\sum_{d|n}d\cdot\phi(d))-\frac12n+n\=(\frac12n\cdot\sum_{d|n}d\cdot\phi(d))+\frac12n\=\frac12n\cdot((\sum_{d|n}d\cdot\phi(d))+1) \]
於是就推完了
預處理時間復雜度是 \(O(nlogn)\) 的
但是有一種 \(O(n)\) 的方法,因為數據比較小,沒有研究
題目描述
求 \(\sum_{i=1}^nlcm(i,n)\)
\(T\) 組數據
\(1\le T\le 300000\)
\(1\le n\le 1000000\)
鏈接
bzoj 2226
luogu SP5971
題解
算法1（暴力）
直接暴力枚舉 \(i\) ，計算 \(lcm\)
時間復雜度 \(O(Tnlogn)\)
算法2 （數論）
先不管最後一個，就變成了這個：
\[
\sum_{i=1}^{n-1}lcm(i,n)
\]
將 \(lcm\) 轉化為 \(gcd\)：
\[
Ans=\sum_{i=1}^{n-1}\frac{in}{gcd(i,n)}
\]
轉化下，其實沒有區別：
\[
Ans=\frac12\cdot 2\sum_{i=1}^{n-1}\frac{in}{gcd(i,n)}
\]
再次轉化，倒著求和：
\[ Ans=\frac12\cdot(\sum_{i=1}^{n-1}\frac{in}{gcd(i,n)}+\sum_{i=n-1}^1\frac{in}{gcd(i,n)}) \]
因為 \(gcd(i,n)=gcd(n-i,i)\)
所以：
\[ Ans=\frac12\cdot(\sum_{i=1}^{n-1}\frac{in}{gcd(i,n)}+\sum_{i=n-1}^1\frac{in}{gcd(n-i,n)}) \]
然後我們發現分母相同於是合並：
\[ Ans=\frac12\cdot(\sum_{i=1}^{n-1}\frac{n^2}{gcd(i,n)}) \]
考慮枚舉 \(gcd\) ,先算上 \(n\) ：
\[ Ans=\frac12n\cdot\sum_{d|n}\frac{n}{d}\cdot \sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)==d] \]
繼續：
\[ Ans=\frac12n\cdot\sum_{d|n}\frac{n}{d}\cdot \sum_{i=1}^{\frac nd}[gcd(i,n)==1] \]
發現後面的其實就是 \(\phi(\frac {n}d)\) ：
\[ Ans=\frac12n\cdot\sum_{d|n}\frac{n}{d}\cdot\phi(\frac{n}d) \]
然後等價於:
\[ Ans=\frac12n\cdot\sum_{d|n}d\cdot\phi(d) \]
然後把多算的減掉:
\[ Ans=(\frac12n\cdot\sum_{d|n}d\cdot\phi(d))-\frac12n \]
然後把少算的加回去:
\[ Ans=(\frac12n\cdot\sum_{d|n}d\cdot\phi(d))-\frac12n+n\=(\frac12n\cdot\sum_{d|n}d\cdot\phi(d))+\frac12n\=\frac12n\cdot((\sum_{d|n}d\cdot\phi(d))+1) \]
於是就推完了
預處理時間復雜度是 \(O(nlogn)\) 的
但是有一種 \(O(n)\) 的方法,因為數據比較小,沒有研究
#include <cstdio>
typedef int INT;
#define int long long
#define __R register
const int MAXN=1000005;
int q;
int n;
int f[MAXN],p[MAXN],phi[MAXN];
bool vis[MAXN];
template <typename T>
inline void read(T &x){
int ch,fl=0;
while (ch=getchar(),ch<48 || 57<ch) fl^=!(ch^45); x=(ch&15);
while (ch=getchar(),47<ch && ch<58) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch&15);
if (fl) x=-x;
}
inline void sieve(){
vis[0]=vis[1]=1; phi[1]=1;
for (__R int i=2;i<MAXN;++i){
if (!vis[i]){
p[++p[0]]=i;
phi[i]=i-1;
}
for (int j=1;j<=p[0] && i*p[j]<MAXN;j++){
vis[i*p[j]]=1;
if (i%p[j]==0){
phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
break;
} else{
phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
}
}
}
for (int i=1;i<MAXN;i++)
for (int j=i;j<MAXN;j+=i)
f[j]+=i*phi[i];
}
inline int solve(int x){
return (f[x]+1)*x>>1;
}
INT main(){
sieve();
read(q);
for (__R int x;q;--q){
read(x);
printf("%lld\n",solve(x));
}
return 0;
}後記
數論題目真套路
「SPOJ5971」 LCMSUM - 數論數學