HDU - 1402 A * B Problem Plus FFT裸題
阿新 • • 發佈:2018-08-17
swa complex asn 直線 lse () strlen mod -i
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1402
題意:
求$a*b$ 但是$a$和$b$的範圍可以達到 $1e50000$
題解:
顯然...用字符串模擬的大數或者壓位的大數是無法勝任這種計算的....
然後,2個大整數相乘,可以理解為卷積,所以就用快速傅裏葉變換(FFT)來加速他
模板題
簡單總結一下對FFT的認知:
FFT用於算卷積,卷積可以理解為兩個多項式相乘
顯然復雜度是$O(n^2)$的 但是fft可以優化為$O(nlogn)$
如何優化,
考慮2個點確定直線,3個點確定拋物線,$n+1$個點確定了$n$次多項式
我們用$n+1$個點$(x_i,y_i)$表達了原來的式子
如何用點值表達卷積(多項式相乘)?
式子展開可以知道,$x_i$確定的時候,對於點值表達式就對應了點$(x_i,f(x_i)*g(x_i))$
也就是可以$O(1)$得到一個點答案,$n$個點就是$O(n)$
那問題又來了,$n+1$個點的$(x_i,y_i)$,每次求解一次多項式的值,需要$O(n)$
也就是$O(n^2)$復雜度,依然超時
所以,現在考慮如何快速的算多項式的值
因為$x_i$我們可以自己定義,因此利用虛根的特殊性質,我們就能分治處理了
就可以復雜度$O(nlogn)$的得到點值表達式
然後$O(n)$的算點值表達式的值
然後逆運算回到答案
#include <bits/stdc++.h> #define ll long long #define usd unsigned #define IO ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0) #define rep(ii,a,b) for(int ii=a;ii<=b;++i) #define per(ii,a,b) for(int ii=b;ii>=a;--i) #define show(x) cout<<#x<<"="<<x<<endl #define show2(x,y) cout<<#x<<"="<<x<<" "<<#y<<"="<<y<<endl #define show3(x,y,z) cout<<#x<<"="<<x<<" "<<#y<<"="<<y<<" "<<#z<<"="<<z<<endl #define show4(w,x,y,z) cout<<#w<<"="<<w<<" "<<#x<<"="<<x<<" "<<#y<<"="<<y<<" "<<#z<<"="<<z<<endl #define showa(a,b) cout<<#a<<‘[‘<<b<<"]="<<a[b]<<endl #define pii pair<int,int> #define cp complex<double>//<complex>頭文件裏的東西 using namespace std; const int maxn=2e5+10; const int maxm=2e6+10; const int INF=0x3f3f3f3f; const int mod=1e9+7; int casn,n,m,k; const double pi=acos(-1.0); int lena,lenb,len,pw,ans[maxn],rr[maxn]; cp a[maxn] ,b[maxn]; char sa[maxn],sb[maxn]; void fft(cp *a,int f){//遞歸分治太慢,用叠代實現 rep(i,0,n-1) if(i<rr[i]) swap(a[i],a[rr[i]]);//分治原來的數組 for(int i=1;i<n;i<<=1){ cp wn(cos(pi/i),sin(f*pi/i)),x,y;//計算虛根 for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)){ cp w(1,0); for(int k=0;k<i;++k,w*=wn){ x=a[j+k],y=w*a[i+j+k]; a[j+k]=x+y; a[i+j+k]=x-y; } } } } int main(){ while(~scanf("%s%s",sa,sb)){ n=1; len=pw=0; memset(ans,0,sizeof ans); lena=strlen(sa); lenb=strlen(sb); while(n<=lena+lenb) n<<=1,++pw; rep(i,0,lena-1) a[i]=sa[lena-i-1]-‘0‘; rep(i,lena,n) a[i]=0; rep(i,0,lenb-1) b[i]=sb[lenb-i-1]-‘0‘; rep(i,lenb,n) b[i]=0; rep(i,0,n) rr[i]=(rr[i>>1]>>1)|((i&1)<<(pw-1));//分治中的二進制規律,因此預處理參數 fft(a,1);//DFT a fft(b,1);//DFT b rep(i,0,n) a[i]*=b[i]; fft(a,-1);//IDFT a*b rep(i,0,lena+lenb) { ans[i]+=int(a[i].real()/n+0.5); ans[i+1]+=ans[i]/10; ans[i]%=10; if(ans[i]>0) len=i; } per(i,0,len){ putchar (ans[i]+‘0‘); } puts(""); } return 0; }
HDU - 1402 A * B Problem Plus FFT裸題