線段樹（1）
目錄
一、概述
二、從一個例子理解線段樹
創建線段樹
線段樹區間查詢
單節點更新
區間更新
三、線段樹實戰
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一 概述
線段樹，類似區間樹，它在各個節點保存一條線段（數組中的一段子數組），主要用於高效解決連續區間的動態查詢問題，由於二叉結構的特性，它基本能保持每個操作的復雜度為O(logn)。
線段樹的每個節點表示一個區間，子節點則分別表示父節點的左右半區間，例如父親的區間是[a,b]，那麽(c=(a+b)/2)左兒子的區間是[a,c]，右兒子的區間是[c+1,b]。
二 從一個例子理解線段樹
下面我們從一個經典的例子來了解線段樹，問題描述如下:從數組arr[0...n-1]中查找某個數組某個區間內的最小值，其中數組大小固定，但是數組中的元素的值可以隨時更新。
對這個問題一個簡單的解法是：遍歷數組區間找到最小值，時間復雜度是O(n),額外的空間復雜度O(1)。當數據量特別大，而查詢操作很頻繁的時候，耗時可能會不滿足需求。
另一種解法：使用一個二維數組來保存提前計算好的區間[i,j]內的最小值，那麽預處理時間為O(n^2)，查詢耗時O(1), 但是需要額外的O(n^2)空間，當數據量很大時，這個空間消耗是龐大的，而且當改變了數組中的某一個值時，更新二維數組中的最小值也很麻煩。
我們可以用線段樹來解決這個問題：預處理耗時O(n)，查詢、更新操作O(logn)，需要額外的空間O(n)。根據這個問題我們構造如下的二叉樹
- 葉子節點是原始組數arr中的元素
- 非葉子節點代表它的所有子孫葉子節點所在區間的最小值
例如對於數組[2, 5, 1, 4, 9, 3]可以構造如下的二叉樹（背景為白色表示葉子節點，非葉子節點的值是其對應數組區間內的最小值，例如根節點表示數組區間arr[0...5]內的最小值是1）： 本文地址
由於線段樹的父節點區間是平均分割到左右子樹，因此線段樹是完全二叉樹，對於包含n個葉子節點的完全二叉樹，它一定有n-1個非葉節點，總共2n-1個節點
2.1 創建線段樹
對於線段樹我們可以選擇和普通二叉樹一樣的鏈式結構。由於線段樹是完全二叉樹，我們也可以用數組來存儲，下面的討論及代碼都是數組來存儲線段樹，節點結構如下（註意到用數組存儲時，有效空間為2n-1,實際空間確不止這麽多，比如上面的線段樹中葉子節點1、3雖然沒有左右子樹，但是的確占用了數組空間，實際空間是滿二叉樹的節點數目： 
， 
是樹的高度，但是這個空間復雜度也是O(n)的 ）。
struct SegTreeNode
{
int val;
}；
定義包含n個節點的線段樹 SegTreeNode segTree[n]，segTree[0]表示根節點。那麽對於節點segTree[i]，它的左孩子是segTree[2*i+1],右孩子是segTree[2*i+2]。
我們可以從根節點開始，平分區間，遞歸的創建線段樹，線段樹的創建函數如下：
1 const int MAXNUM = 1000;
2 struct SegTreeNode
3 {
4 int val;
5 }segTree[MAXNUM];//定義線段樹
6
7 /*
8 功能：構建線段樹
9 root：當前線段樹的根節點下標
10 arr: 用來構造線段樹的數組
11 istart：數組的起始位置
12 iend：數組的結束位置
13 */
14 void build(int root, int arr[], int istart, int iend)
15 {
16 if(istart == iend)//葉子節點
17 segTree[root].val = arr[istart];
18 else
19 {
20 int mid = (istart + iend) / 2;
21 build(root*2+1, arr, istart, mid);//遞歸構造左子樹
22 build(root*2+2, arr, mid+1, iend);//遞歸構造右子樹
23 //根據左右子樹根節點的值，更新當前根節點的值
24 segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);
25 }
26 }
2.2 查詢線段樹
已經構建好了線段樹，那麽怎樣在它上面超找某個區間的最小值呢？查詢的思想是選出一些區間，使他們相連後恰好涵蓋整個查詢區間，因此線段樹適合解決“相鄰的區間的信息可以被合並成兩個區間的並區間的信息”的問題。代碼如下，具體見代碼解釋
1 /*
2 功能：線段樹的區間查詢
3 root：當前線段樹的根節點下標
4 [nstart, nend]: 當前節點所表示的區間
5 [qstart, qend]: 此次查詢的區間
6 */
7 int query(int root, int nstart, int nend, int qstart, int qend)
8 {
9 //查詢區間和當前節點區間沒有交集
10 if(qstart > nend || qend < nstart)
11 return INFINITE;
12 //當前節點區間包含在查詢區間內
13 if(qstart <= nstart && qend >= nend)
14 return segTree[root].val;
15 //分別從左右子樹查詢，返回兩者查詢結果的較小值
16 int mid = (nstart + nend) / 2;
17 return min(query(root*2+1, nstart, mid, qstart, qend),
18 query(root*2+2, mid + 1, nend, qstart, qend));
19
20 }
舉例說明（對照上面的二叉樹）：
1、當我們要查詢區間[0,2]的最小值時，從根節點開始，要分別查詢左右子樹，查詢左子樹時節點區間[0,2]包含在查詢區間[0,2]內，返回當前節點的值1，查詢右子樹時，節點區間[3,5]和查詢區間[0,2]沒有交集，返回正無窮INFINITE，查詢結果取兩子樹查詢結果的較小值1，因此結果是1.
2、查詢區間[0,3]時，從根節點開始，查詢左子樹的節點區間[0,2]包含在區間[0,3]內，返回當前節點的值1；查詢右子樹時，繼續遞歸查詢右子樹的左右子樹，查詢到非葉節點4時，又要繼續遞歸查詢：葉子節點4的節點區間[3,3]包含在查詢區間[0,3]內，返回4，葉子節點9的節點區間[4,4]和[0,3]沒有交集，返回INFINITE,因此非葉節點4返回的是min(4, INFINITE) = 4，葉子節點3的節點區間[5,5]和[0,3]沒有交集，返回INFINITE,因此非葉節點3返回min(4, INFINITE) = 4, 因此根節點返回 min(1,4) = 1。
2.3單節點更新
單節點更新是指只更新線段樹的某個葉子節點的值，但是更新葉子節點會對其父節點的值產生影響，因此更新子節點後，要回溯更新其父節點的值。
1 /*
2 功能：更新線段樹中某個葉子節點的值
3 root：當前線段樹的根節點下標
4 [nstart, nend]: 當前節點所表示的區間
5 index: 待更新節點在原始數組arr中的下標
6 addVal: 更新的值（原來的值加上addVal）
7 */
8 void updateOne(int root, int nstart, int nend, int index, int addVal)
9 {
10 if(nstart == nend)
11 {
12 if(index == nstart)//找到了相應的節點，更新之
13 segTree[root].val += addVal;
14 return;
15 }
16 int mid = (nstart + nend) / 2;
17 if(index <= mid)//在左子樹中更新
18 updateOne(root*2+1, nstart, mid, index, addVal);
19 else updateOne(root*2+2, mid+1, nend, index, addVal);//在右子樹中更新
20 //根據左右子樹的值回溯更新當前節點的值
21 segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);
22 }
比如我們要更新葉子節點4（addVal = 6）,更新後值變為10，那麽其父節點的值從4變為9，非葉結點3的值更新後不變，根節點更新後也不變。
2.4 區間更新
區間更新是指更新某個區間內的葉子節點的值，因為涉及到的葉子節點不止一個，而葉子節點會影響其相應的非葉父節點，那麽回溯需要更新的非葉子節點也會有很多，如果一次性更新完，操作的時間復雜度肯定不是O(lgn)，例如當我們要更新區間[0,3]內的葉子節點時，需要更新出了葉子節點3,9外的所有其他節點。為此引入了線段樹中的延遲標記概念，這也是線段樹的精華所在。
延遲標記：每個節點新增加一個標記，記錄這個節點是否進行了某種修改(這種修改操作會影響其子節點)，對於任意區間的修改，我們先按照區間查詢的方式將其劃分成線段樹中的節點，然後修改這些節點的信息，並給這些節點標記上代表這種修改操作的標記。在修改和查詢的時候，如果我們到了一個節點p，並且決定考慮其子節點，那麽我們就要看節點p是否被標記，如果有，就要按照標記修改其子節點的信息，並且給子節點都標上相同的標記，同時消掉節點p的標記。
因此需要在線段樹結構中加入延遲標記域，本文例子中我們加入標記與addMark，表示節點的子孫節點在原來的值的基礎上加上addMark的值，同時還需要修改創建函數build 和 查詢函數 query，修改的代碼用紅色字體表示，其中區間更新的函數為update，代碼如下：
1 const int INFINITE = INT_MAX;
2 const int MAXNUM = 1000;
3 struct SegTreeNode
4 {
5 int val;
6 int addMark;//延遲標記
7 }segTree[MAXNUM];//定義線段樹
8
9 /*
10 功能：構建線段樹
11 root：當前線段樹的根節點下標
12 arr: 用來構造線段樹的數組
13 istart：數組的起始位置
14 iend：數組的結束位置
15 */
16 void build(int root, int arr[], int istart, int iend)
17 {
18 segTree[root].addMark = 0;//----設置標延遲記域
19 if(istart == iend)//葉子節點
20 segTree[root].val = arr[istart];
21 else
22 {
23 int mid = (istart + iend) / 2;
24 build(root*2+1, arr, istart, mid);//遞歸構造左子樹
25 build(root*2+2, arr, mid+1, iend);//遞歸構造右子樹
26 //根據左右子樹根節點的值，更新當前根節點的值
27 segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);
28 }
29 }
30
31 /*
32 功能：當前節點的標誌域向孩子節點傳遞
33 root: 當前線段樹的根節點下標
34 */
35 void pushDown(int root)
36 {
37 if(segTree[root].addMark != 0)
38 {
39 //設置左右孩子節點的標誌域，因為孩子節點可能被多次延遲標記又沒有向下傳遞
40 //所以是 “+=”
41 segTree[root*2+1].addMark += segTree[root].addMark;
42 segTree[root*2+2].addMark += segTree[root].addMark;
43 //根據標誌域設置孩子節點的值。因為我們是求區間最小值，因此當區間內每個元
44 //素加上一個值時，區間的最小值也加上這個值
45 segTree[root*2+1].val += segTree[root].addMark;
46 segTree[root*2+2].val += segTree[root].addMark;
47 //傳遞後，當前節點標記域清空
48 segTree[root].addMark = 0;
49 }
50 }
51
52 /*
53 功能：線段樹的區間查詢
54 root：當前線段樹的根節點下標
55 [nstart, nend]: 當前節點所表示的區間
56 [qstart, qend]: 此次查詢的區間
57 */
58 int query(int root, int nstart, int nend, int qstart, int qend)
59 {
60 //查詢區間和當前節點區間沒有交集
61 if(qstart > nend || qend < nstart)
62 return INFINITE;
63 //當前節點區間包含在查詢區間內
64 if(qstart <= nstart && qend >= nend)
65 return segTree[root].val;
66 //分別從左右子樹查詢，返回兩者查詢結果的較小值
67 pushDown(root); //----延遲標誌域向下傳遞
68 int mid = (nstart + nend) / 2;
69 return min(query(root*2+1, nstart, mid, qstart, qend),
70 query(root*2+2, mid + 1, nend, qstart, qend));
71
72 }
73
74 /*
75 功能：更新線段樹中某個區間內葉子節點的值
76 root：當前線段樹的根節點下標
77 [nstart, nend]: 當前節點所表示的區間
78 [ustart, uend]: 待更新的區間
79 addVal: 更新的值（原來的值加上addVal）
80 */
81 void update(int root, int nstart, int nend, int ustart, int uend, int addVal)
82 {
83 //更新區間和當前節點區間沒有交集
84 if(ustart > nend || uend < nstart)
85 return ;
86 //當前節點區間包含在更新區間內
87 if(ustart <= nstart && uend >= nend)
88 {
89 segTree[root].addMark += addVal;
90 segTree[root].val += addVal;
91 return ;
92 }
93 pushDown(root); //延遲標記向下傳遞
94 //更新左右孩子節點
95 int mid = (nstart + nend) / 2;
96 update(root*2+1, nstart, mid, ustart, uend, addVal);
97 update(root*2+2, mid+1, nend, ustart, uend, addVal);
98 //根據左右子樹的值回溯更新當前節點的值
99 segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);
100 }
區間更新舉例說明：當我們要對區間[0,2]的葉子節點增加2，利用區間查詢的方法從根節點開始找到了非葉子節點[0-2]，把它的值設置為1+2 = 3，並且把它的延遲標記設置為2，更新完畢；當我們要查詢區間[0,1]內的最小值時，查找到區間[0,2]時，發現它的標記不為0，並且還要向下搜索，因此要把標記向下傳遞，把節點[0-1]的值設置為2+2 = 4，標記設置為2，節點[2-2]的值設置為1+2 = 3，標記設置為2（其實葉子節點的標誌是不起作用的，這裏是為了操作的一致性），然後返回查詢結果：[0-1]節點的值4；當我們再次更新區間[0,1]（增加3）時，查詢到節點[0-1],發現它的標記值為2，因此把它的標記值設置為2+3 = 5，節點的值設置為4+3 = 7；
其實當區間更新的區間左右值相等時（[i,i]），就相當於單節點更新，單節點更新只是區間更新的特例。
三 線段樹實戰
求區間的最大值、區間求和等問題都是采用類似上面的延遲標記域。下面會通過acm的一些題目來運用一下線段樹。
等待更新......
參考資料
GeeksforGeeks: http://www.geeksforgeeks.org/segment-tree-set-1-range-minimum-query/
GeeksforGeeks: http://www.geeksforgeeks.org/segment-tree-set-1-sum-of-given-range/
懂得博客[數據結構之線段樹]：http://dongxicheng.org/structure/segment-tree/
MetaSeed[數據結構專題—線段樹]: http://blog.csdn.net/metalseed/article/details/8039326
NotOnlySuccess[完全版 線段樹]: http://www.notonlysuccess.com/index.php/segment-tree-complete/
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線段樹（1）