J 洋灰三角

題目：

鏈接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/136/J
來源：牛客網

時間限制：C/C++ 1秒，其他語言2秒
空間限制：C/C++ 262144K，其他語言524288K
64bit IO Format: %lld

題目描述

洋灰是一種建築材料，常用來築橋搭建高層建築，又稱，水泥、混凝土。 WHZ有很多鑄造成三角形的洋灰塊，他想把這些洋灰三角按照一定的規律放到擺成一排的n個格子裏，其中第i個格子放入的洋灰三角數量是前一個格子的k倍再多p個，特殊地，第一個格子裏放1個。

WHZ想知道把這n個格子鋪滿需要多少洋灰三角。

輸入描述:

第一行有3個正整數n，k，p。

輸出描述:

輸出一行，一個正整數，表示按照要求鋪滿n個格子需要多少洋灰三角，由於輸出數據過大，你只需要輸出答案模1000000007(1e9+7)後的結果即可。

示例1

輸入

復制

3 1 1

輸出

復制

6

說明

洋灰三角鋪法：1 2 3，總計6個

示例2

輸入

復制

3 2 2

輸出

復制

15

說明

洋灰三角鋪法：1 4 10，總計15個

示例3

輸入

復制

3 3 3

輸出

復制

28

說明

洋灰三角鋪法：1 6 21，總計28個

備註:

對於100%的測試數據：
1 ≤ n ≤ 1000000000
1 ≤ k,p ≤ 1000

思路：

矩陣快速冪，但我是直接先求出前幾項，再丟進杜教的板子就過了。

代碼：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include 
 
<algorithm>
#include <vector>
#include <string>
#include <map>
#include <set>
#include <cassert>
#include<bits/stdc++.h>

#define rep(i,a,n) for (ll  i=a;i<n;i++)
#define per(i,a,n) for (ll  i=n-1;i>=a;i--)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define fi first
#define se second
#define SZ(x) ((ll )(x).size())
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef vector<ll > VI;

typedef pair<ll ,ll > PII;
const ll mod=1000000007;
ll powmod(ll a,ll b) {ll res=1;a%=mod; assert(b>=0); for(;b;b>>=1){if(b&1)res=res*a%mod;a=a*a%mod;}return res;}
// head

ll  _,n;
namespace linear_seq {
    const ll  N=10010;
    ll res[N],base[N],_c[N],_md[N];

    vector<ll > Md;
    void mul(ll *a,ll *b,ll  k) {
        rep(i,0,k+k) _c[i]=0;
        rep(i,0,k) if (a[i]) rep(j,0,k) _c[i+j]=(_c[i+j]+a[i]*b[j])%mod;
        for (ll  i=k+k-1;i>=k;i--) if (_c[i])
            rep(j,0,SZ(Md)) _c[i-k+Md[j]]=(_c[i-k+Md[j]]-_c[i]*_md[Md[j]])%mod;
        rep(i,0,k) a[i]=_c[i];
    }
    ll  solve(ll n,VI a,VI b) { // a 系數 b 初值 b[n+1]=a[0]*b[n]+...
//        prll f("%d\n",SZ(b));
        ll ans=0,pnt=0;
        ll  k=SZ(a);
        assert(SZ(a)==SZ(b));
        rep(i,0,k) _md[k-1-i]=-a[i];_md[k]=1;
        Md.clear();
        rep(i,0,k) if (_md[i]!=0) Md.push_back(i);
        rep(i,0,k) res[i]=base[i]=0;
        res[0]=1;
        while ((1ll<<pnt)<=n) pnt++;
        for (ll  p=pnt;p>=0;p--) {
            mul(res,res,k);
            if ((n>>p)&1) {
                for (ll  i=k-1;i>=0;i--) res[i+1]=res[i];res[0]=0;
                rep(j,0,SZ(Md)) res[Md[j]]=(res[Md[j]]-res[k]*_md[Md[j]])%mod;
            }
        }
        rep(i,0,k) ans=(ans+res[i]*b[i])%mod;
        if (ans<0) ans+=mod;
        return ans;
    }
    VI BM(VI s) {
        VI C(1,1),B(1,1);
        ll  L=0,m=1,b=1;
        rep(n,0,SZ(s)) {
            ll d=0;
            rep(i,0,L+1) d=(d+(ll)C[i]*s[n-i])%mod;
            if (d==0) ++m;
            else if (2*L<=n) {
                VI T=C;
                ll c=mod-d*powmod(b,mod-2)%mod;
                while (SZ(C)<SZ(B)+m) C.pb(0);
                rep(i,0,SZ(B)) C[i+m]=(C[i+m]+c*B[i])%mod;
                L=n+1-L; B=T; b=d; m=1;
            } else {
                ll c=mod-d*powmod(b,mod-2)%mod;
                while (SZ(C)<SZ(B)+m) C.pb(0);
                rep(i,0,SZ(B)) C[i+m]=(C[i+m]+c*B[i])%mod;
                ++m;
            }
        }
        return C;
    }
    ll  gao(VI a,ll n) {
        VI c=BM(a);
        c.erase(c.begin());
        rep(i,0,SZ(c)) c[i]=(mod-c[i])%mod;
        return solve(n,c,VI(a.begin(),a.begin()+SZ(c)));
    }
};

int  main() {
    ll   n, k, p;
    cin>>n>>k>>p;
    ll  sum[120];
    
    ///求出前10項
    sum[1]=1;
    for(ll  i=2;i<=10;i++){
        sum[i]=(sum[i-1]*k%mod+p)%mod;
    }
    for(ll  i=2;i<=10;i++){
        sum[i]=(sum[i-1]+sum[i])%mod;
    }

    vector<ll >v;
    for(ll  i=1;i<=10;i++){
        v.push_back(sum[i]);

    }
    printf("%lld\n",linear_seq::gao(v,n-1));

}

牛客小白月賽6 J 洋灰三角