牛客小白月賽7 J 方格填色(狀壓DP+矩陣快速冪)
阿新 • • 發佈:2018-12-11
題目大意:給一個m*n的方格,每個格子可以是黑色或白色,要求左右相鄰兩格不能同時為白色,且相鄰兩列不能全為黑色,問可以有幾種情況數。
題目思路:由於資料範圍1<=m<=5,1<=n<=1e18,所以很容易看出是狀壓dp。由於他要求的都是對於兩列之間,也就是說行之間沒有要求,所以我們只要在列之間進行轉移即可。這裡使用狀態來表示每列的情況。用0表示黑色用1表示白色。那麼由於左右相鄰兩格不能同時為白色,所以表示兩種狀態的十進位制數進行與得到的結果需要為0,還有一個條件是相鄰兩列不能全為黑色,那麼相鄰兩列中至少有一個狀態非0。然後我們構造一個2^m*2^m的矩陣,行和列分別表示每種情況,然後數字中只有1和0,表示這兩種狀態可不可以進行轉移。然後可以轉移的乘以a[i-1][0],a[i-1][1]……a[i-1][2^m-1](豎著的),就能獲得a[i][0],a[i][1]……a[i][2^m-1](豎著的)表示第i列各種狀態的情況個數。然後全部加起來就是答案了。
以下是程式碼:
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define inf 0x3f3f3f3f #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) #define per(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--) #define ll long long const int MAXN = 1e5+5; const int MOD = 1e9+7; int t[32][32]; struct node { int n,m,a[32][32]; void operator*=(const node& y) { memset(t,0,sizeof(t)); int i,j,k; for(i=0;i<n;i++)for(k=0;k<m;k++)for(j=0;j<y.m;j++)t[i][j]=(t[i][j]+(ll)a[i][k]*y.a[k][j])%MOD; m=y.m; for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<m;j++)a[i][j]=t[i][j]; } }A,S,T; int main(){ int m; ll n; while(~scanf("%d%lld",&m,&n)){ memset(A.a,0,sizeof(A.a)); memset(S.a,0,sizeof(S.a)); memset(T.a,0,sizeof(T.a)); m=1<<m; A.n=A.m=S.n=S.m=T.n=m; T.m=1; rep(i,0,m-1){ A.a[i][i]=1; T.a[i][0]=1; } rep(i,0,m-1){ rep(j,0,m-1){ if(!(i&j)&&(i|j)){ S.a[i][j]=1; } } } for(n--;n;n>>=1,S*=S)if(n&1)A*=S; A*=T; ll ans=0; rep(i,0,m-1){ ans=(ans+A.a[i][0])%MOD; } printf("%lld\n",ans); } return 0; }