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時間復雜度 O(n^3)

  1 #include<stdio.h>
  2
 
 #include<algorithm>
  3 #include<iostream>
  4 #include<string.h>
  5 #include<math.h>
  6 using namespace std;
  7 const int MAXN=50;
  8 int a[MAXN][MAXN];//增廣矩陣
  9 int x[MAXN];//解集
 10 bool free_x[MAXN];//標記是否是不確定的變元
 11 inline int gcd(int a,int b){int t;while(b!=0){t=b;b=a%b;a=t;}return
 
 a;}
 12 inline int lcm(int a,int b){return a/gcd(a,b)*b;}//先除後乘防溢出
 13 
 14 /*====================================================================================
 15 高斯消元法解方程組(Gauss-Jordan elimination).
 16     ---1>   -2表示有浮點數解，但無整數解
 17     ---2>   -1表示無解
 18     ---3>   0表示唯一解
 19     ---4>   大於0表示無窮解，並返回自由變元的個數
 
 20 =====================================================================================
 21 有equ個方程，var個變元。
 22 
 23 增廣矩陣 行數為equ,   分別為0到equ-1.
 24          列數為var+1, 分別為0到var.
 25 =====================================================================================*/
 26 int Gauss(int equ,int var)
 27 {
 28     int i,j,k;
 29     int max_r;// 當前這列絕對值最大的行.
 30     int col;//當前處理的列
 31     int ta,tb;
 32     int LCM;
 33     int temp;
 34     int free_x_num;
 35     int free_index;
 36 
 37     for(int i=0; i<=var; i++)
 38     {
 39         x[i]=0;
 40         free_x[i]=true;
 41     }
 42 
 43     //轉換為階梯陣.
 44     col=0; // 當前處理的列
 45     for(k = 0; k < equ && col < var; k++,col++)
 46     {
 47         // 枚舉當前處理的行.
 48 // 找到該col列元素絕對值最大的那行與第k行交換.(為了在除法時減小誤差)
 49         max_r=k;
 50         for(i=k+1; i<equ; i++)
 51         {
 52             if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;
 53         }
 54         if(max_r!=k)
 55         {
 56             // 與第k行交換.
 57             for(j=k; j<var+1; j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);
 58         }
 59         if(a[k][col]==0)
 60         {
 61             // 說明該col列第k行以下全是0了，則處理當前行的下一列.
 62             k--;
 63             continue;
 64         }
 65         for(i=k+1; i<equ; i++)
 66         {
 67             // 枚舉要刪去的行.
 68             if(a[i][col]!=0)
 69             {
 70                 LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));
 71                 ta = LCM/abs(a[i][col]);
 72                 tb = LCM/abs(a[k][col]);
 73                 if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;    //異號的情況是相加
 74                 for(j=col; j<var+1; j++)
 75                 {
 76                     a[i][j] = a[i][j]*ta-a[k][j]*tb;
 77                 }
 78             }
 79         }
 80     }
 81     // 1. 無解的情況: 化簡的增廣陣中存在(0, 0, ..., a)這樣的行(a != 0).
 82     for (i = k; i < equ; i++)
 83     {
 84         // 對於無窮解來說，如果要判斷哪些是自由變元，那麽初等行變換中的交換就會影響，則要記錄交換.
 85         if (a[i][col] != 0) return -1;
 86     }
 87     // 2. 無窮解的情況: 在var * (var + 1)的增廣陣中出現(0, 0, ..., 0)這樣的行，即說明沒有形成嚴格的上三角陣.
 88     // 且出現的行數即為自由變元的個數.
 89     if (k < var)
 90     {
 91         // 首先，自由變元有var - k個，即不確定的變元至少有var - k個.
 92         for (i = k - 1; i >= 0; i--)
 93         {
 94             // 第i行一定不會是(0, 0, ..., 0)的情況，因為這樣的行是在第k行到第equ行.
 95             // 同樣，第i行一定不會是(0, 0, ..., a), a != 0的情況，這樣的無解的.
 96             free_x_num = 0; // 用於判斷該行中的不確定的變元的個數，如果超過1個，則無法求解，它們仍然為不確定的變元.
 97             for (j = 0; j < var; j++)
 98             {
 99                 if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;
100             }
101             if (free_x_num > 1) continue; // 無法求解出確定的變元.
102             // 說明就只有一個不確定的變元free_index，那麽可以求解出該變元，且該變元是確定的.
103             temp = a[i][var];
104             for (j = 0; j < var; j++)
105             {
106                 if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];
107             }
108             x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出該變元.
109             free_x[free_index] = 0; // 該變元是確定的.
110         }
111         return var - k; // 自由變元有var - k個.
112     }
113     // 3. 唯一解的情況: 在var * (var + 1)的增廣陣中形成嚴格的上三角陣.
114     // 計算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
115     for (i = var - 1; i >= 0; i--)
116     {
117         temp = a[i][var];
118         for (j = i + 1; j < var; j++)
119         {
120             if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];    //--因為x[i]存的是temp/a[i][i]的值，即是a[i][i]=1時x[i]對應的值
121         }
122         if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 說明有浮點數解，但無整數解.
123         x[i] = temp / a[i][i];
124     }
125     return 0;
126 }
127 int main(void)
128 {
129     int i, j;
130     int equ,var;
131     while(scanf("%d %d", &equ,&var)!= EOF)
132     {
133         memset(a, 0, sizeof(a));
134         for (i = 0; i < equ; i++)
135         {
136             for (j = 0; j < var + 1; j++)
137             {
138                 scanf("%d", &a[i][j]);
139             }
140         }
141         int free_num = Gauss(equ,var);
142         if (free_num == -1)
143             printf("無解!\n");
144         else if (free_num == -2)
145             printf("有浮點數解，無整數解!\n");
146         else if (free_num > 0)
147         {
148             //printf("無窮多解! 自由變元個數為%d\n", free_num);
149             for (i = 0; i < var; i++)
150             {
151                 if (free_x[i]) printf("x%d 是不確定的\n", i + 1);
152                 else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
153             }
154         }
155         else      //free_num==0 唯一解
156         {
157             for (i = 0; i < var; i++)
158             {
159                 printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
160             }
161         }
162         printf("\n");
163     }
164     return 0;
165 }

高斯消元 模板