[HAOI2009] 逆序對數列

題目大意:求\([1,n]\)的自然數的排列中逆序對數為\(k\)的有多少.

這樣來DP

• 狀態:設\(f[i][j]\)為\(i\)個數,逆序對數為\(j\)的種類數目

• 轉移方程:\(f[i][j] = \sum \limits _{k=j-i+1}^{j}f[i-1][k]\),\(i\)時最多可以貢獻\(i-1\)對逆序對,也就是\(k\)最極限也就\(j-(i+1)\)

• 優化:前綴和即可

代碼

無優化

#include <iostream>
#include <cstdio>

const int Mod = 10000;

int f[1005][1005];

int main(){
    int n, k;
    scanf("%d %d", &n, &k);
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        f[i][0] = 1;
        for(int j = 1; j <= k; ++j){
            for(int q = std::max(j - i + 1, 0); q <= j; ++q){
                f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][q]) % Mod;
            }
        }
    }
    printf("%d\n", f[n][k]);

    return 0;
}
 

優化

#include <iostream>
#include <cstdio>

const int Mod = 10000;

int f[1005][1005], sum[1005];

int main(){
    int n, k;
    scanf("%d %d", &n, &k);
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        f[i][0] = 1;
        for(int q = 1; q <= k + 1; ++q){
            sum[q] = (sum[q - 1] + f[i - 1][q - 1]) % Mod;
        }//更新前綴和,這裏的要註意下這個前綴和代表的比較特殊,不是普通的i到j是sum[i]-sum[j-1],得加1
        for(int j = 1; j <= k; ++j){
            f[i][j] = (sum[j + 1] - sum[j - i + 1] + Mod) % Mod;
        }//前綴和減去不能達到的
    }
    printf("%d\n", f[n][k]);

    return 0;
}
 

錯誤

• 先寫了一遍沒有優化的,日常忘記模數
• 但是因為\(j-i+1\)會小於\(0\),這是不被允許的
• \(std::max(j-i+1,1)\)不行,因為可以到\(0\),應該是\(std::max(j-i+1,1)\)
• 優化後因為有個相減再取模,忘記\(+Mod\)

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