歐拉路問題，俗稱“一筆畫”問題
給定一張無向圖。若存在一條從節點S到節點T的路徑，恰好不漏不重的經過每一條邊一次（可以重復經過節點），則稱該路徑為S到T的歐拉路

若存在一條從節點S出發，恰好不漏不重地經過每一條邊（可以重復經過圖中節點）最終回到起點S，則該路徑稱為歐拉回路。
存在歐拉回路的無向圖稱為歐拉圖

歐拉圖判定
一張無向圖為歐拉圖，當且僅當無向圖聯通，且每個節點的度都是偶數

歐拉路存在性判定
一張無向圖存在歐拉路，當且僅當無向圖連通，並且圖中恰好有兩個節點的度數為奇數，其他節點的度數為偶數。這兩個度數為奇數的節點就是起點S和終點T

歐拉回路的方案

在保證一張無向圖時歐拉圖時
歐拉圖每個節點度數為偶數說明：只要到達一個節點，就必定存在有一條尚未走過的邊可以離開該點。

偽代碼實際找出了若幹條回路，我們需要把這些回路按照適當的方法拼接在一起，形成整張圖的歐拉回路，一個拼接方法就是把第二條回路嵌入第一條回路中間

而偽代碼中的棧，替我們完成了這個拼接工作，最後，把棧中的所有節點倒序輸出，就得到了一條歐拉回路

上述算法的復雜度時O(NM)。因為一個點會被重復遍歷多次，每次都會掃描與它相連的所有的邊，雖然大部分的邊已經訪問過了
假設我們使用鄰接表來存儲無向圖，我們可以在訪問一條邊(x, y)後，及時修改表頭head[x]，令它指向下一條邊。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int maxn = 500010;
 4 struct shiki {
 5     int y, net;
 6 }e[maxn << 1];
 7 int lin[maxn], len = 0;
 8 int s[maxn], ans[maxn];
 
 9 bool vis[maxn];
10 int n, m, t_f = 0, t_s = 0;
11 
12 inline int read() {
13     int x = 0, y = 1;
14     char ch = getchar();
15     while(!isdigit(ch)) {
16         if(ch == ‘-‘) y = -1;
17         ch = getchar();
18     }
19     while(isdigit(ch)) {
20         x = (x << 1) + (x << 3) + ch - ‘0‘;
21         ch = getchar();
22     }
23     return x * y;
24 }
25 
26 inline void insert(int xx, int yy) {
27     e[++len].y = yy;
28     e[len].net = lin[xx];
29     lin[xx] = len;
30 }
31 
32 inline void euler() {
33     s[++t_f] = 1;
34     while(t_f > 0) {
35         int x = s[t_f], i = lin[x];
36         while(i && vis[i]) i = e[i].net;
37         if(i) {
38             s[++t_f] = e[i].y;
39             vis[i] = vis[i ^ 1] = true;
40             lin[x] = e[i].net;
41         }
42         else t_f--, ans[++t_s] = x;
43     }
44 }
45 
46 int main() {
47     n = read(), m = read();
48     len = 1;
49     for(register int i = 1; i <= m; ++i) {
50         int x = read(), y = read();
51         insert(x, y);
52         insert(y, x);
53     }
54     euler();
55     cout << "One of all Euler circuits is : "<< ‘ ‘;
56     for(register int i = t_s; i >= 1; --i)
57         cout << ans[i] << ‘ ‘;
58     return 0;
59 }

例題：Watchcow(poj2230)

給定N個點M條邊的無向圖(1 <= N <= 10^4, 1 <= M <= 5 * 10^4)，求一條路徑，從節點1出發，最後回到節點1，並且滿足每條邊恰好被沿著正，反兩個方向分別經過一次。
若有多種方案，輸出一種即可

按照一般的存儲方式，無向邊會在鄰接表中以正、反兩個方向分別被保存一次，若沒有vis標記，則按照表頭數組head的更新方法，每條無向邊會被正反各經過一次，恰好符合題目要求

 1 #include<iostream>
 2 #include<iomanip>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<ctime>
 5 #include<cstdlib>
 6 #include<algorithm>
 7 #include<cstring>
 8 #include<stack>
 9 #include<queue>
10 #include<map>
11 #include<vector>
12 #include<cmath>
13 using namespace std;
14 const int maxn = 50010;
15 struct shiki {
16     int y, net;
17 }e[maxn << 1];
18 int lin[maxn], len = 0;
19 int n, m, t_f = 0, t_s = 0;
20 int s[maxn], ans[maxn];
21 
22 inline int read() {
23     int x = 0, y = 1;
24     char ch = getchar();
25     while(!isdigit(ch)) {
26         if(ch == ‘-‘) y = -1;
27         ch = getchar();
28     }
29     while(isdigit(ch)) {
30         x = (x << 1) + (x << 3) + ch - ‘0‘;
31         ch = getchar();
32     }
33     return x * y;
34 }
35 
36 inline void insert(int xx, int yy) {
37     e[++len].y = yy;
38     e[len].net = lin[xx];
39     lin[xx] = len;
40 }
41 
42 inline void euler() {
43     s[++t_f] = 1;
44     while(t_f > 0) {
45         int x = s[t_f], i = lin[x];
46     //    while(i) i = lin[i];
47         if(i) {
48             s[++t_f] = e[i].y;
49             lin[x] = e[i].net;
50         }
51         else t_f--, ans[++t_s] = x;
52      }
53 }
54 
55 int main() {
56 //    freopen("watchcow.in", "r", stdin);
57 //    freopen("watchcow.out", "w", stdout); 
58     n = read(), m = read();
59     len = 1;
60     for(register int i = 1; i <= m; ++i) {
61         int x = read(), y = read();
62         insert(x, y);
63         insert(y, x);
64     }
65     euler();
66     for(register int i = t_s; i >= 1; i--)
67         cout << ans[i] << ‘\n‘;
68     return 0;
69 }

歐拉路問題