線段樹--從入門到精通
線段樹，強大的數據結構，用處也是比較廣的。
首先，我們要明白線段樹是個啥？
線段樹，線段嘛，有左右端點，那麽它當然可以代表一個區間，那麽區間上的好多事情都可以用它來搞，比如：區間加，區間乘，區間求和。
首先讓我們先看個線段樹的模型。
如圖，這就是一棵線段樹的模型。
圈內的點表示這是第幾個點，紅色表示這個點表示的區間範圍。
每個點和它的左右兩個兒子的編號是有一定的關系的：
點N，它的左兒子編號為N$\times$2,右兒子編號為N$\times$2+1.
線段樹支持單點修改，區間修改，單點查詢，區間查詢。
講解有易到難。
先放一張後邊當例子講解的圖(每個圈中的數表示的為這個區間的和
構建線段樹框架
假設一段長度為 N 的序列，那麽我們需要維護總長為 1--N 的線段。
對於每一個點，我們需要確定它所表示的線段的 左端點 右端點 以及我們要維護的區間和
對於每個點的左兒子和右兒子來說，左兒子繼承前一半 [L,(L+R)/2]，右兒子繼承後一半( (L+R)/2,R ]。
還有我們維護的區間和，每個大區間都是有兩個小區間組成，那麽 大區間的和 = 左兒子的和+右兒子的和。
這部分代碼：
struct ahah{ long long l,r,sum,f; //對於 f 的作用，後邊會有解釋，此處忽略。 }tree[200000<<2]; 註意此處四倍空間。void build(int k,int l,int r) { tree[k].l=l;tree[k].r=r; if(tree[k].l==tree[k].r) { scanf("%lld",&tree[k].sum); return ; } long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1; build(k<<1,l,mid); build(k<<1|1,mid+1,r); tree[k].sum=tree[k<<1].sum+tree[k<<1|1].sum; }
單點查詢與修改
單點修改，我們已知單點的位置，那麽我們從一號點開始，根據兩個兒子所代表的區間範圍，選擇下一步是走左兒子還是右兒子，今兒一步步的確定準確的點。
單點查詢與單點修改幾乎一樣，查詢到具體的位置後，輸出其結果。
拿上邊的圖進行模擬下：
修改4號點：左兒子[0,4],右兒子[5,8] ->選擇左兒子 ->左兒子[0,2],右兒子[3,4] ->選擇右兒子 ->... -> 找到4號點修改。
查詢同上。
當我們修改完某個點以後，包含這個點的區間的和發生了改變，所以最後我們還要加一句：
$tree[k].sum=tree[k \times 2].sum+tree[k \times 2+1].sum$ 以確保維護的區間和不會改變。
代碼：k表示點的編號，需要給x號點加上y 。
void update(int k) { if(tree[k].l==tree[k].r) { tree[k].sum+=y; return ; } long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1; if(x<=mid)update(k<<1); else update(k<<1|1); tree[k].sum=tree[k<<1].sum+tree[k<<1|1].sum; }
區間求和與修改
區間修改與查詢也有很大的相似。
區間修改，暫時來說我們沒有好辦法，只能一個一個的修改區間中的每一個元素，後邊會有優秀做法的講解。
區間查詢，我們需要明確這個被查詢的區間位置。
以下被查詢的區間用[a,b]表示,k表示當前的點的編號。
首先我們從最大的區間開始，判斷被查詢的區間，有三種情況：
1.位於左兒子中($b \le tree[k<<1].l $)還是右兒子中($a > tree[k<<1|1].l $)，然後選擇下一步是去左兒子還是右兒子。
2.被查詢的區間被兩部分都包括，那麽我們就將區間分開，一部分查詢左區間，一部分查詢右區間。
3.現在的點所代表的區間$(a <= tree[k].l , b >= tree[k].r )$ 被要查詢的區間所包含，那麽不需要再查下去，直接將答案加上這段區間所維護的和就好了。
拿查詢區間[3,5]模擬一下：
mid表示當前區間的二分點。
代碼用遞歸實現：
void query(int k) { if(x<=tree[k].l&&y>=tree[k].r) { ans+=tree[k].sum; return ; } if(tree[k].f)down(k); //先省略就好。 long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1; if(x<=mid)query(k<<1); if(y>mid)query(k<<1|1); }
重點來了：懶標記
對於區間修改來說，我們一個一個的修改浪費大量的時間，並且修改了還不一定查修這個點，為了解決這個問題，我們引入懶標記 f 。
首先我們要明確他的一個性質: 懶，用得著的時候動一下，用不著的時候就永遠在那。
每個節點的的懶標記記錄的是它所代表的這個區間所加的值 f 。
就像區間查詢一樣，當區間不被包含時，分開查找，當目前區間已被要修改的區間包含時，那麽我們就可以直接給這個點，打上懶標記，不需要去準確的一個一個的修改區間內的元素了。
那這樣的話必究沒法維護區間和了？
我們維護區間和為的是啥？當然是為了求區間和了，當我們在查詢的時候，若用得到這整個區間，那麽返回 維護的值 + 區間元素個數$\times$懶標記的值，若不全用得到的話，那麽我們將懶標記下傳給它的左右兩個兒子，然後繼續查找。區間和並不是沒有維護，而是在維護懶標記從而間接地維護者區間和。
這裏需要註意的是：當節點的懶標記下傳給兒子的時候它的懶標記則需要清空，因為已經傳給了兒子。
藍標即下傳代碼：
void down(long long k) { tree[k<<1].f+=tree[k].f; tree[k<<1|1].f+=tree[k].f; tree[k<<1].sum+=(tree[k<<1].r-tree[k<<1].l+1)*tree[k].f; tree[k<<1|1].sum+=(tree[k<<1|1].r-tree[k<<1|1].l+1)*tree[k].f; tree[k].f=0; }
用到藍標即的區間加以及求和：
void query(int k) { if(x<=tree[k].l&&y>=tree[k].r) { ans+=tree[k].sum; return ; } if(tree[k].f)down(k); long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1; if(x<=mid)query(k<<1); if(y>mid)query(k<<1|1); } void add(long long k) { if(tree[k].l>=x&&tree[k].r<=y) { tree[k].sum+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*val; tree[k].f+=val; return ; } if(tree[k].f) down(k); long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1; if(x<=mid)add(k<<1); if(y>mid)add(k<<1|1); tree[k].sum=tree[k<<1].sum+tree[k<<1|1].sum; }
綜上就是先對簡單的線段樹操作。
貼上模板：
#include<cstdio> #include<iostream> using namespace std; long long n,m,ans,x,y,ch,val; struct ahah{ long long l,r,sum,f; }tree[200000<<2]; void build(int k,int l,int r) { tree[k].l=l;tree[k].r=r; if(tree[k].l==tree[k].r) { scanf("%lld",&tree[k].sum); return ; } long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1; build(k<<1,l,mid); build(k<<1|1,mid+1,r); tree[k].sum=tree[k<<1].sum+tree[k<<1|1].sum; } void update(int k) { if(tree[k].l==tree[k].r) { tree[k].sum+=y; return ; } long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1; if(x<=mid)update(k<<1); else update(k<<1|1); tree[k].sum=tree[k<<1].sum+tree[k<<1|1].sum; } void down(long long k) { tree[k<<1].f+=tree[k].f; tree[k<<1|1].f+=tree[k].f; tree[k<<1].sum+=(tree[k<<1].r-tree[k<<1].l+1)*tree[k].f; tree[k<<1|1].sum+=(tree[k<<1|1].r-tree[k<<1|1].l+1)*tree[k].f; tree[k].f=0; } void query(int k) { if(x<=tree[k].l&&y>=tree[k].r) { ans+=tree[k].sum; return ; } if(tree[k].f)down(k); long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1; if(x<=mid)query(k<<1); if(y>mid)query(k<<1|1); } void add(long long k) { if(tree[k].l>=x&&tree[k].r<=y) { tree[k].sum+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*val; tree[k].f+=val; return ; } if(tree[k].f) down(k); long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1; if(x<=mid)add(k<<1); if(y>mid)add(k<<1|1); tree[k].sum=tree[k<<1].sum+tree[k<<1|1].sum; } int main() { scanf("%lld%lld",&n,&m); build(1,1,n); for(int i=1;i<=m;i++) { ans=0; cin>>ch>>x>>y; if(ch==1) { cin>>val; add(1); } else { query(1); cout<<ans<<"\n"; } } }
例題：
入門
模板：洛谷線段樹1：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3372
單點修改與區間查詢：最大數https://www.luogu.org/problemnew/show/P1198
進階：
妖夢斬木棒：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3797
無聊的數列：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1438
線段樹--從入門到精通