紅黑樹

簡介

紅黑樹是一種非常優秀的二叉搜尋樹，誕生於1972年，並被優化於1978年，因其效率高而被廣泛應用於STL等需要高效率的實現。

基本性質

紅黑樹是一種基於旋轉的平衡樹，雖然沒有AVL的完全平衡，但相比於Splay，Treap又有嚴格的效率保證。
一顆紅黑樹應當滿足以下五個性質：
性質1.節點是紅色或黑色。
性質2.根節點是黑色。
性質3.每個葉節點是黑色的。
性質4.每個紅色節點的兩個子節點都是黑色。
性質5.從任一節點到其每個葉子的所有路徑都包含相同數目的黑色節點。
注意上述的性質3，原樹上的任意節點，若其沒有左兒子或右兒子，我們給它加上一個虛節點NULL，這使得新樹中所有葉子節點為NULL，當然，這一步只是幫助思考，在程式碼實現中不會體現。
對於性質4，其等同於樹上沒有兩個相鄰的紅色節點。
另外，因為紅黑樹滿足性質5，這使得最深的葉子節點的深度不會超過最淺的葉子節點深度的兩倍，從根節點出發，沿途訪問到某個葉子節點，這條路徑的長度不會超過2

基本操作

查詢

查詢樹上的一個點，通常要從根節點開始往下走，時間複雜度就是樹的深度。

旋轉

紅黑樹的旋轉與Splay完全一致，這裡不作贅述。

插入

在樹上插入一個節點，先找到該點應插入的位置，這個位置應當是原先的某個葉子節點。插入時，為了不破壞性質5，我們將這個新加的節點標為紅色，但這有可能會破壞性質4。如果破壞了性質4，我們就要進行修復。

設N為當前待修復節點(初始為新加節點)，P為N的父節點，S為P的另一個子節點，也就是N的兄弟節點，G為P的父節點，U為P的兄弟節點，也就是N的叔節點。

void Insert_Fixup(int N)
{
    int P,G,S,U;
    P=fa[N];
    G=fa[P];
    if(N==left[P]) S=right[P];
    else S=left[P];
    if(P==left[G]) U=right[G];
    else U=left[G];

情況1：當前節點是根節點，根據性質2，直接將該點染成黑色，不需要修復，退出。

if(N==root)
{
    color[N]=black;
    return;
}

情況2：P節點是黑色的，性質4沒有被破壞，修復完成，退出。

if(color
 
[P]==black)
{
    return;
}

若不滿足上述兩種情況，意味著性質4被破壞，但一定滿足：N和P是紅色的且P不是根節點，S和G是黑色的。

情況3：N是P的左兒子且P是G的右兒子或N是P的右兒子且P是G的左兒子，為了後續處理方便，將N進行一次旋轉操作，把P作為當前節點，更新兄弟節點S。

if((N==left[P])+(P==left[G])==1)
{
    Rotate(N);
    swap(N,P);
    if(N==left[P]) S=right[P];
    else S=left[P];
}

接下來，我們要討論叔節點U的顏色。

情況4：U節點是黑色的，我們要旋轉P，將P染成黑色，將G染成紅色，修復完成，退出。

if(color[U]==black)
{
    Rotate(P);
    color[P]=black;
    color[G]=red;
    return;
}

情況5：若U節點是紅色的，因為P和U同層又同為紅色，我們將紅色向上傳，即將P和U染成黑色，將G染成紅色，這樣原本N和P是相鄰的紅色節點，被破壞的性質4得到了修復，但G原本是黑色，現在變成了紅色，若G的父節點也是紅色，性質4被再次破壞，所以我們將G作為新的當前節點並進行遞迴操作，重新進入修復函式。

else
{
    color[P]=color[U]=black;
    color[G]=red;
    Insert_Fixup(G);
    return;
}

以上就是插入修復的所有情況，除了情況5需要遞迴，理論最多遞迴到根，也就是最對進行2∗logn次操作，但均攤只用2次。

刪除

從樹中刪除一個點，第一個步驟仿照Splay，那就是如果刪除點沒有兒子是空節點，我們要先找到一個能替代它的，也就是前驅後繼。我們將找到的前去後繼的資訊賦給待刪除點，然後待刪除點變成了這個前驅後繼。將待刪除節點刪去，再把下面的點接上來。
因為刪了點，所以性質2，性質3，性質5都可能被破壞。

情況1：被刪除點是紅色的，沒有性質被破壞，不做任何事情。

if(color[V]==red)
{
    return;
}

情況2：刪除後接上的點是紅色，性質3可能被破壞，性質5被破壞，把這個點染成黑色，修復完成。

if(color[N]==red)
{
    color[N]=black;
    return;
}

情況3：不滿足上述兩種情況，性質2，性質3未被破壞，性質5一定被破壞，且要呼叫修復函式修復。

else
{
    Delete_Fixup(N);
    return;
}

設N為當前待修復節點，P是N的父節點，S是P的兄弟節點，SL，SR是S的兩個兒子。

void Delete_Fixup(int N)
{
    int P,S,SL,SR;
    P=fa[N];
    if(N==left[P]) S=right[P];
    else S=left[P];
    SL=left[S];
    SR=right[S]；

情況4：當前點是根節點，直接退出。

if(N==root)
{
    return;
}

情況5：P，S，SL，SR的顏色全為黑色，將S染成紅色，將P設為當前節點，進行遞迴操作，重新進入修復函式。

if(color[P]==black&&color[S]==black&&color[SL]==black&&color[SR]==black)
{
    color[S]=red;
    Delete_Fixup(F);
    return;
}

情況6：SL，SR都是黑色，P是紅色，將P染成黑色，將S染成紅色，修復完成，退出。

if(color[P]==red&&color[SL]==black&&solor[SR]==black)
{
    color[P]=black;
    color[S]=red;
    return;
}

情況7：S節點是紅色的，因此P，SL，SR均為黑色，旋轉S，將S染成黑色，將P染成紅色，修復完成，退出。

if(color[S]==red)
{
    Rotate(S);
    color[S]=black;
    color[P]=red;
    return;
}

接下來的情況都是SL，SR有紅的情況
情況8：SL，SR中，較遠點是黑色，我們就通過旋轉將較遠點調整為紅色，繼續修復。

if(N==left[P]&&color[SR]==black)
{
    Rotate(SL);
    color[S]=red;
    color[SL]=black;
    SR=S;
    S=SL;
    SL=left[S];
}
if(N==right[P]&&color[SL]==black)
{
    Rotate(SR);
    color[S]=red;
    color[SR]=black;
    SL=S;
    S=SR:
    SR=right[S]

情況9：此時較遠點一定為紅色，我們旋轉S，將較遠點染成黑色，將S染成P的顏色，將P染成黑色，修復完成，退出。

    Rotate(S);
    color[S]=color[P];
    color[P]=black;
    if(N==left[P]) color[SR]=black;
    else color[SL]=black;
    return;
}

以上就是刪除修復的全部內容，要遞迴的只有一種情況，且概率小得可以忽略(P，F，B，LB，RB全為黑色)，所以刪除修復時間複雜度O(1)。

其它操作

紅黑樹的其它操作都基於上述的基本操作，由於查詢操作不可避免，所以所以操作都是O(logn)的，但看似常數較大的插入刪除都是O(1)的，所花的時間可以直接忽略，所以執行紅黑樹的大多數時間用於查詢一個節點。

簡要總結

紅黑樹的確是一個十分優秀的演算法，處理一類問題是有著極其卓越的高效率，但在插入和刪除的修復是程式碼略顯偏長(if語句有點多)。話說回來，插入就是在一個節點下發加一個紅色節點，插入修復就是處理“紅-紅”情況；而刪除，就是在一條鏈中間去掉一個點，再把剩餘的接上，刪除修復就是處理“黑-黑”情況(被刪除點和被刪除點的子節點都是黑色)。或許你會覺得程式碼複雜，理解困難，但只要理解一兩種情況，餘下的可以自己推出來，對於每種情況的處理方式不唯一，如果你能自己推出每種情況的處理方式，那程式碼實現也就不難了。