割點

什麽是割點？

如果在一個圖中，如果把一個點刪除，那麽這個圖不再聯通，那麽這個點就是割點（割頂），當然是在無向圖。

如何實現？

如果我們嘗試刪除每個點，並且判斷這個圖的聯通性，那麽復雜度會特別的高。所以要介紹一個常用的算法：\(Tarjan\)。

首先，我們上一個圖：

很容易的看出割點是 ２，而且這個圖僅有這一個割點。

首先，我們按照 \(DFS\) 序給他打上時間戳（訪問的順序）。

這些信息被我們保存在一個叫做 num 的數組中。

還需要另外一個數組 low，用它來存儲不經過其父親（你有多個那麽就看你遍歷到了哪個）能到達的時間戳。

例如 ２ 的話是 １， ５ 和 ６ 是 ３。

然後我們開始 \(DFS\)

另外，如果搜到了自己（在環中），如果他有兩個及以上的兒子，那麽他一定是割點了，如果只有一個兒子，那麽把它刪掉，不會有任何的影響。比如下面這個圖，此處形成了一個環，從樹上來講它有 ２ 個兒子：

我們在訪問 １ 的兒子時候，假設先 \(DFS\) 到了 ２，然後標記用過，然後遞歸往下，來到了 ４， ４ 又來到了 ３，當遞歸回溯的時候，會發現 ３ 已經被訪問過了，所以不是割點。

更新 low

如果 v 是 u 的兒子
    low[u]=min(low[u],low[v]);
否則
    low[u] = min(low[u],num[v]);

洛谷 P3388 【模板】割點（割頂）

Code

/*
洛谷 P3388 【模板】割點（割頂）
算法： Tarjan
時間：2018 8 22
by @liyifeng 
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;//n：點數 m：邊數 
int num[100001],low[100001],inde,res;
//num：記錄每個點的時間戳 low：能不經過父親到達最小的編號，inde：時間戳，res：答案數量 
bool vis[100001],flag[100001];//flag: 答案 vis：標記是否重復 
vector <int> edge[100001];// 存圖用的 
void Tarjan(int u,int father)//u 當前點的編號，father 自己爸爸的編號 
{
    vis[u]=true;// 標記 
    low[u]=num[u]=++inde;// 打上時間戳 
    int child=0;// 每一個點兒子數量 
    for(auto v : edge[u])// 訪問這個點的所有鄰居 （C++11） 
    {
        if(!vis[v])
        {
            child++;// 多了一個兒子 
            Tarjan(v,u);// 繼續 
            low[u]=min(low[u],low[v]);// 更新能到的最小節點編號 
            if(father!=u&&low[v]>=num[u]&&!flag[u])// 主要代碼 
            // 如果不是自己，且不通過父親返回的最小點符合割點的要求，並且沒有被標記過 
            // 要求即為：刪了父親連不上去了，即為最多連到父親
            {
                flag[u]=true;
                res++;// 記錄答案 
            }
        }
        else if(v!=father)
            low[u]=min(low[u],num[v]);// 如果這個點不是自己，更新能到的最小節點編號 
    }
    if(father==u&&child>=2&&!flag[u])// 主要代碼，自己的話需要 2 個兒子才可以 
    {
        flag[u]=true;
        res++;// 記錄答案 
    }
}
int main()
{
    cin>>n>>m;// 讀入數據 
    for(int i=1;i<=m;i++)// 註意點是從 1 開始的 
    {
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        edge[x].push_back(y);
        edge[y].push_back(x);
    }// 使用 vector 存圖 
    for(int i=1;i<=n;i++)// 因為 Tarjan 圖不一定聯通 
        if(!vis[i])
        {
            inde=0;// 時間戳初始為 0 
            Tarjan(i,i);// 從第 i 個點開始，父親為自己 
        }
    cout<<res<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(flag[i]) cout<<i<<" ";// 輸出結果 
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<low[i]<<endl;
    return 0;
}
 

割邊

什麽是割邊？

和割點差不多，還叫做割橋。

無向聯通圖中，去掉一條邊，圖中的連通分量數增加，則這條邊，稱為橋或者割邊，當然也是在無向圖。

實現

和割點差不多，只要改一處： \(low_v>num_u\) 就可以了，而且不需要考慮根節點的問題。

割邊是和是不是根節點沒關系的，原來我們求割點的時候是指點 \(v\) 是不可能不經過父節點 \(u\) 為回到祖先節點（包括父節點），所以頂點 \(u\) 是割點。如果 \(low_v==num_u\) 表示還可以回到父節點，如果頂點 \(v\) 不能回到祖先也沒有另外一條回到父親的路，那麽 \(u-v\) 這條邊就是割邊

\(Tarjan\) 算法還有許多用途，常用的例如求強連通分量，縮點，還有求 \(2-SAT\) 的用途等。

圖的割點與割邊