Given a string that contains only digits 0-9 and a target value, return all possibilities to add binary operators (not unary) +, -, or *between the digits so they evaluate to the target value.
Example 1:
Input: num = "123", target = 6
Output: ["1+2+3", "1*2*3"]
Example 2:
Input: num = "232", target = 8
Output: ["2*3+2", "2+3*2"]
Example 3:
Input: num = "105", target = 5
Output: ["1*0+5","10-5"]
Example 4:
Input: num = "00", target = 0
Output: ["0+0", "0-0", "0*0"]
Example 5:
Input: num = "3456237490", target = 9191
Output: []

DFS。
函數頭：private void dfs(int offset, long cal, long lastFact, String crt, List<String> ans)
遞歸定義：在中間的general狀態下，offset這個index以前的數字被加減乘分割的方式已經定好了放在crt裏，這種方式算出來的到目前的答案也定好了放在cal裏，你接下來隨便試offset和後面的數字分割的方式，等有一天試成功了你放到ans裏。對了同時傳一個額外信息lastFact，表示到目前為止最後一個被+-的因數，給你用來輔助現在嘗試*用。
遞歸拆分：這題能產生不同組合無非依賴於1.長數字怎麽被分割為好幾個小數字，2.分割點插的什麽二元操作符。一次dfs內：首先for循環看substring要從offset開始停到哪裏來取數字產生下一個因數。有了這個因數後看看如果拿前面的結果+-*這個新因數後，會怎麽更新cal和lastFact，從而進一步遞歸。
遞歸出口：當offset指不到新數字後你必須走了。如果該退場的時候發現誒我正好算出來的答案合格了，那把你現在找到的組合方式crt存進ans裏。

細節：
1.本題難點在於解決插入乘法符號*時怎麽快速更新計算結果。比如輸入為1234。在某一狀態，前面已經拼成了12+3，我們當前cal記下15，現在需要我們拼上新數字4。要是填+，更新結果很容易就加上去就好；如果要填*，從12+3變成12+3*4，我們不能只依靠上一個cal信息為15來快速得到答案，因為現在3不是先和12組合了而是先和4。如果記錄了上一個因子lastFact的話事情就簡單很多。先把lastFact從cal中減去得到上上次的答案12，再讓lastFact先和當前數字乘了得到3*4，再加回上上次的結果去。所以乘法時，cal更新為cal - lastFact + lastFact * crtFact，lastFact更新為lastFact * crtFact。
2.中間答案和因數都用Long存儲不要用int。因為很可能你兩個數一乘就超int了，但有時候減一減又可以拿到最後int的target，不能在中途把它們犧牲掉。
3.註意0的corner case。0不可以和其他數組成共同的因子。如果是01234開始繼續分解，第一個0只可以自己獨立做因子，不可以和後面的拉幫結派組成01,012什麽的。所以直接用parseLong還有缺陷，比如你不額外處理的話，000 湊0, parseLong看到00也讀成0，就會給你產生00+0的不合理結果。
4.所有數，甚至第一個數，都可以直接霸占到最後。比如12345，不是說一定要加符號進去從而第一個數最多到1234這樣，如果num = “12345” target = 12345，它自身就成立了，不需要加符號。
5.註意遞歸出口時的必須走了的“必須”。就是說你就算試出來的答案是錯的也要走，不可以繼續跑下面的代碼。本題湊巧下面代碼只有for循環，而且這個for循環在offset跑到最後的時候不會進去，所以不在前面寫return也沒關系。但寫其他dfs的時候還是要小心，盡量check一下最前面出口那裏要不要先寫return以避免編譯錯誤。

實現：

class Solution {
        private String num;
        private long target;
        private List<String> ans;

        public List<String> addOperators(String num, int target) {
            this.num = num;
            this.target = target;
            this.ans = new ArrayList<>();
            dfs(0, 0, 0, "");
            return ans;
        }

        private void dfs(int offset, long cal, long lastFact, String crt) {

            if (offset == num.length() && cal == target) {
                ans.add(crt);
            }
            
            // P2: 數可以直接霸占到最後，甚至第一個數。比如12345，不是說一定要加符號進去從而第一個數最多到1234這樣，如果target也是12345它自身就成立了。
            for (int i = offset; i < num.length(); i++) {
                long fact = Long.parseLong(num.substring(offset, i + 1));
                if (offset == 0) {
                    dfs(i + 1, cal + fact, fact, crt + num.substring(offset, i + 1));
                } else {
                    dfs(i + 1, cal + fact, fact, crt + "+" + fact);
                    dfs(i + 1, cal - fact, -fact, crt + "-" + fact);
                    dfs(i + 1, cal - lastFact + lastFact * fact, lastFact * fact, crt + "*" + fact);    
                }
                // P1: 如果是01234開始繼續分解，第一個0只可以自己獨立做因子，不可以和後面的拉幫結派組成01,012什麽的。所有直接用parseLong還有缺陷。
                if (fact == 0) {
                    break;
                }
            }
        }
    }

九章實現：

/**
* 本參考程序來自九章算法，由 @老頑童 提供。版權所有，轉發請註明出處。
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* - 更多詳情請見官方網站：http://www.jiuzhang.com/?source=code
*/ 

public class Solution {
    /**
     * @param num    a string contains only digits 0-9
     * @param target an integer
     * @return return all possibilities
     */
    
    void dfs(String num, int target, int start, String str, long sum, long lastF, List<String> ans) {
        if (start == num.length()) {
            if (sum == target) {
                ans.add(str);
            }
            return;
        }
        for (int i = start; i < num.length(); i++) {
            long x = Long.parseLong(num.substring(start, i + 1));

            if (start == 0) {
                dfs(num, target, i + 1, "" + x, x, x, ans);
            } else {
                dfs(num, target, i + 1, str + "*" + x, sum - lastF + lastF * x, lastF * x, ans);
                dfs(num, target, i + 1, str + "+" + x, sum + x, x, ans);
                dfs(num, target, i + 1, str + "-" + x, sum - x, -x, ans);
            }
            if (x == 0) {
                break;
            }
        }
    }

    public List<String> addOperators(String num, int target) {
        // Write your code here
        List<String> ans = new ArrayList<>();
        dfs(num, target, 0, "", 0, 0, ans);
        return ans;
    }
}

leetcode282 - Expression Add Operators - hard