樹上倍增——（貨車運輸 解題報告）
倍增新高度——樹上倍增（其實差不多啦）
首先倍增就不說了
那麽樹上倍增和倍增有什麽區別呢？
其實沒什麽區別，對於樹上的結點u，
我們同樣用st[u][l]數組記錄其結點u向上2^l步數中權值最小（最大）的值
但是樹上的邊不是連續的啊，這我們怎麽去維護呢？
這時，我們需要引入一個輔助數組f數組，
對於樹上結點u，這個f數組f[u][l]表示這個點u向上走2^l次走到那個點
（這裏有一個小技巧：把根的父親設為根，防止跑到樹的外面）
那麽就很簡單了，偽代碼如下：
for i:=1 to n do
begin
f[i][0]:=fa[i]; //fa表示i的父親
st[i][0]:=w[i];//w表示結點i到它父親這條邊的權值
end;//預處理
for j:=1 to lg[n] do
begin
for i:=1 to n do
begin
f[i][j]:=f[f[i][j-1]][j-1]; //向當前結點向上跳2^j
st[i][j]:=opt(st[i][j-1],st[f[i][j-1]][j-1]); //合並最值
end;
end;
那麽樹上倍增可以幹嘛呢？？？
可以用來維護樹上任意兩點之間最值，求lca
lca代碼如下：
{$inline on}
var
u,v,cnt,i,j,n,m,q,x,y,l,root:longint;
head,tail,vet,next,deep,fa,lg:array[0..1001000] of longint;
f:array[0..501000,0..30] of longint;
function min(a,b:longint):longint; inline;
begin
if a>b then exit(b)
else exit(a);
end;
procedure solve(u,v:longint); inline;
var y,ans:longint;
begin
ans:=maxlongint;
if deep[u]<deep[v] then
begin
y:=u; u:=v; v:=y;
end;
l:=lg[n];
while deep[u]>deep[v] do
begin
while (deep[f[u][l]]<deep[v]) and (l<>0) do dec(l);
u:=f[u][l];
end;
if u=v then writeln(u)
else
begin
l:=lg[n];
while u<>v do
begin
while (f[u][l]=f[v][l]) and (l<>0) do dec(l);
u:=f[u][l]; v:=f[v][l];
end;
writeln(u);
end;
end;
procedure dfs(now,father:longint);
var point:longint;
begin
if father<>0 then
begin
deep[now]:=deep[father]+1;
fa[now]:=father;
end;
point:=head[now];
while point<>0 do
begin
if vet[point]<>father then dfs(vet[point],now);
point:=next[point];
end;
end;
procedure GG;
var i:longint;
begin
lg[1]:=0;
for i:=2 to n do
lg[i]:=lg[i div 2]+1;
end;
begin
readln(n,q,root); GG;
for i:=1 to n-1 do
begin
readln(u,v);
inc(cnt);
vet[cnt]:=v; next[cnt]:=head[u]; head[u]:=cnt;
inc(cnt);
vet[cnt]:=u; next[cnt]:=head[v]; head[v]:=cnt;
end;
fa[root]:=root; deep[root]:=1; dfs(root,0);
for i:=1 to n do f[i][0]:=fa[i];
for j:=1 to lg[n] do
begin
for i:=1 to n do
f[i][j]:=f[f[i][j-1]][j-1];
end;
for i:=1 to q do
begin
readln(u,v);
solve(u,v);
end;
end.
給出一道例題：
貨車運輸
題目描述
AA國有nn座城市，編號從 11到nn，城市之間有 mm 條雙向道路。每一條道路對車輛都有重量限制，簡稱限重。現在有 qq 輛貨車在運輸貨物， 司機們想知道每輛車在不超過車輛限重的情況下，最多能運多重的貨物。
輸入輸出格式
輸入格式：
第一行有兩個用一個空格隔開的整數n,mn,m，表示 AA 國有nn 座城市和 mm 條道路。
接下來 mm行每行33個整數 x, y, zx,y,z，每兩個整數之間用一個空格隔開，表示從 xx號城市到yy號城市有一條限重為 zz 的道路。註意： xx 不等於 yy，兩座城市之間可能有多條道路 。
接下來一行有一個整數 q，表示有 q 輛貨車需要運貨。
接下來 q 行，每行兩個整數 x、y，之間用一個空格隔開，表示一輛貨車需要從 x 城市運輸貨物到 y 城市，註意：x 不等於 y 。
輸出格式：
共有 qq 行，每行一個整數，表示對於每一輛貨車，它的最大載重是多少。如果貨車不能到達目的地，輸出-1?1。
輸入輸出樣例
輸入樣例#1： 復制4 3 1 2 4 2 3 3 3 1 1 3 1 3 1 4 1 3輸出樣例#1： 復制
3 -1 3
說明
對於 30\%30%的數據，0 < n < 1,000,0 < m < 10,000,0 < q< 1,0000<n<1,000,0<m<10,000,0<q<1,000；
對於 60\%60%的數據，0 < n < 1,000,0 < m < 50,000,0 < q< 1,0000<n<1,000,0<m<50,000,0<q<1,000；
對於 100\%100%的數據，0 < n < 10,000,0 < m < 50,000,0 < q< 30,000,0 ≤ z ≤ 100,0000<n<10,000,0<m<50,000,0<q<30,000,0≤z≤100,000。
這道題要求圖中兩點路徑之間最小值最大，這個性質之間讓我們想到了最大生成樹
我在這裏簡單證明一下：
若我們對於原圖已經得到了其最大生成樹
假設邊的最小值不在最大生成樹上，那麽這條邊的權值必然大於生成樹中一條邊的權值
我們把它加入生成樹，就會得到比原來更優的生成樹，和原來的假設沖突了
那麽這條邊必然應該在最大生成樹上
則此題便成為了一道模板題（老師說的，一定是我太菜了QwQ）
對於原圖跑一邊最大生成樹
用倍增維護樹上兩點間的最小權值（lca，最小生成樹，倍增，似乎全是模板誒）
代碼如下
var
x,y,n,m,i,j,q,num,tot,roota,rootb:longint;
w,u,deep,pre,v,vet,head,lg,next,weight:array[0..200000] of longint;
st,f:array[0..100100,0..30] of longint;
fa:array[0..100100,1..2] of longint;
procedure sort(l,r: longint);
var
i,j,x,y: longint;
begin
i:=l; j:=r;
x:=w[(l+r) div 2];
repeat
while w[i]<x do inc(i);
while x<w[j] do dec(j);
if not(i>j) then
begin
y:=w[i]; w[i]:=w[j]; w[j]:=y;
y:=u[i]; u[i]:=u[j]; u[j]:=y;
y:=v[i]; v[i]:=v[j]; v[j]:=y;
inc(i); j:=j-1;
end;
until i>j;
if l<j then sort(l,j);
if i<r then sort(i,r);
end;
function min(a,b:longint):longint;
begin
if a>b then exit(b)
else exit(a);
end;
procedure solve(u,v:longint); inline;
var y,ans,l:longint;
begin
ans:=maxlongint;
if deep[u]<deep[v] then
begin
y:=u; u:=v; v:=y;
end;
l:=lg[n];
while deep[u]>deep[v] do
begin
while (deep[f[u][l]]<deep[v]) and (l<>0) do dec(l);
ans:=min(ans,st[u][l]);
u:=f[u][l];
end;
if u=v then writeln(ans)
else
begin
l:=lg[n];
while u<>v do
begin
//writeln(u,‘ ‘,v);
//if (u or v=1) then break;
while (f[u][l]=f[v][l]) and (l<>0) do dec(l);
ans:=min(ans,st[u][l]); ans:=min(ans,st[v][l]);
if f[v][l]=0 then begin writeln(v,‘ ‘,l); halt; end;
u:=f[u][l]; v:=f[v][l];
end;
writeln(ans);
end;
end;
procedure dfs(id,father,we:longint);
var point:longint;
begin
if father<>id then
begin
deep[id]:=deep[father]+1;
fa[id][1]:=father;
fa[id][2]:=we;
end;
point:=head[id];
while point<>0 do
begin
if vet[point]<>father then dfs(vet[point],id,weight[point]);
point:=next[point];
end;
end;
procedure findb(id:longint);
begin
if pre[id]=id then begin rootb:=id; exit; end
else findb(pre[id]);
pre[id]:=rootb;
end;
procedure finda(id:longint);
begin
if pre[id]=id then begin roota:=id; exit; end
else finda(pre[id]);
pre[id]:=roota;
end;
begin
readln(n,m);
for i:=1 to n do pre[i]:=i;
for i:=1 to m do readln(u[i],v[i],w[i]);
sort(1,m);
for i:=m downto 1 do
begin
finda(u[i]); findb(v[i]);
if roota<>rootb then
begin
pre[roota]:=rootb;
inc(num); inc(tot);
next[tot]:=head[u[i]]; head[u[i]]:=tot;
vet[tot]:=v[i]; weight[tot]:=w[i];
inc(tot);
next[tot]:=head[v[i]]; head[v[i]]:=tot;
vet[tot]:=u[i]; weight[tot]:=w[i];
end;
if num=n-1 then break;
end;
lg[1]:=0;
for i:=2 to n do lg[i]:=lg[i>>1]+1;
for i:=1 to n do
if fa[i][1]=0 then
begin
fa[i][1]:=i;
deep[i]:=1;
dfs(i,i,0);
end;
for i:=1 to n do
begin
f[i][0]:=fa[i][1];
st[i][0]:=fa[i][2];
end;
for j:=1 to lg[n] do
begin
for i:=1 to n do
begin
f[i][j]:=f[f[i][j-1]][j-1];
if st[i][j-1]=0 then st[i][j-1]:=maxlongint;
if st[f[i][j-1]][j-1]=0 then st[f[i][j-1]][j-1]:=maxlongint;
st[i][j]:=min(st[i][j-1],st[f[i][j-1]][j-1]);
end;
end;
readln(q);
for i:=1 to q do
begin
readln(x,y);
finda(x); findb(y);
if roota=rootb then solve(x,y)
else writeln(-1);
end;
end.
樹上倍增——（貨車運輸 解題報告）