[HEOI2016/TJOI2016]求和
阿新 • • 發佈:2018-09-20
fine -- 逆元 turn 復雜 數列求和 display html \n
註意到\(i<j\)時,\(S(i,j)=0\),我們可以擴大\(j\)的範圍:
\[=\sum_{j=0}^n2^j*j!\sum_{i=0}^nS(i,j)\]
最終式子化為
\[=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}\frac{(j-k)^{n+1}-1}{[(j-k)-1](j-k)!}\]
顯然\(NTT\)輕松解決。
https://www.zybuluo.com/ysner/note/1288083
題面
求\[\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^iS(i,j)*2^j*j!\]
\(n\leq10^5\)
解析
覺得這道題目與[bzoj5093]圖的價值相比,還是小巫見大巫呢。
公式復雜程度和代碼細節量少了不止一個級別。。。
首先,要求的時間復雜度是\(O(nlogn)\)。
則我們需要卷積形式的,第二類斯特林數的,通項公式:(推導過程在鏈接的那篇博文裏)
\[S(i,j)=\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}\frac{(j-k)^i}{(j-k)!}\]
然後推推式子:
\[=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^iS(i,j)*2^j*j!\]
註意到\(i<j\)時,\(S(i,j)=0\),我們可以擴大\(j\)的範圍:
\[=\sum_{j=0}^n2^j*j!\sum_{i=0}^nS(i,j)\]
所以題目實際上要求我們把\(\sum_{i=0}^nS(i,j)\)化成卷積形式。
\[\sum_{i=0}^nS(i,j)=\sum_{i=0}^n\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}\frac{(j-k)^i}{(j-k)!}\]
\[=\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!(j-k)!}\sum_{i=0}^n(j-k)^i\]
又根據等比數列求和公式\[\sum_{i=0}^n(j-k)^i=\frac{(j-k)^{n+1}-1}{(j-k)-1}\]
最終式子化為
\[=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}\frac{(j-k)^{n+1}-1}{[(j-k)-1](j-k)!}\]
顯然\(NTT\)輕松解決。
ps:如何快速求階乘的逆元
顯然一般方法是一邊求階乘一邊求逆元,復雜度\(O(nlogn)\)。
然而更好的方法是求完階乘後,求出最後一個階乘的逆元,再不斷\(inv[i]=inv[i+1]*(i+1)\)即可。
時間復雜度\(O(n)\)
#include<iostream> #include<cstring> #include<cmath> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<algorithm> #define ll long long #define re register #define il inline #define fp(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;i++) #define fq(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;i--) using namespace std; const int N=4e5+1,mod=998244353; int n,m,lim=1,l,r[N],a[N],b[N],jc[N],inv[N],ans; il int ksm(re int S,re int n) { re int T=S;S=1; while(n) { if(n&1) S=1ll*S*T%mod; T=1ll*T*T%mod; n>>=1; } return S; } il void NTT(re int *A,re int tp) { fp(i,1,lim-1) if(i<r[i]) swap(A[i],A[r[i]]); for(re int mid=1;mid<lim;mid<<=1) { re int gu=mid<<1,W=ksm(3,(mod-1)/gu); if(tp==-1) W=ksm(W,mod-2); for(re int j=0;j<lim;j+=gu) { re int w=1; for(re int k=0;k<mid;k++,w=1ll*w*W%mod) { re ll x=A[j+k],y=1ll*w*A[j+mid+k]%mod; A[j+k]=(x+y)%mod;A[j+mid+k]=(x-y+mod)%mod; } } } } il int gi() { re int x=0,t=1; re char ch=getchar(); while(ch!=‘-‘&&(ch<‘0‘||ch>‘9‘)) ch=getchar(); if(ch==‘-‘) t=-1,ch=getchar(); while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return x*t; } int main() { n=m=gi(); jc[0]=inv[0]=1;fp(i,1,n) jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%mod; inv[n]=ksm(jc[n],mod-2); fq(i,n-1,1) inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%mod; b[0]=1;b[1]=n+1; fp(i,0,n) { a[i]=(i&1)?mod-inv[i]:inv[i]; if(i>1) b[i]=1ll*(ksm(i,n+1)-1+mod)%mod*ksm(i-1,mod-2)%mod*inv[i]%mod; } while(lim<=n+m) lim<<=1,++l; fp(i,1,lim-1) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<l-1); NTT(a,1);NTT(b,1); fp(i,0,lim-1) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod; NTT(a,-1); re ll Inv=ksm(lim,mod-2); for(re int i=0,j=1;i<=n;++i,j=((ll)j<<1)%mod) (ans+=1ll*a[i]*Inv%mod*jc[i]%mod*j%mod)%=mod; printf("%d\n",ans); return 0; }
[HEOI2016/TJOI2016]求和