luogu P4091 [HEOI2016/TJOI2016]求和
阿新 • • 發佈:2018-12-07
這一類題都要考慮推式子
首先,原式為\[f(n)=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i}S(i,j)*2^j*j!\]
可以看成\[f(n)=\sum_{j=0}^{n}2^j*j!\sum_{i=j}^{n}S(i,j)\]
又因為\[S(i,j)=\frac{1}{j!}\sum_{k=0}^{j}(-1)^k*\binom{j}{k}*(j-k)^i\]
所以\[f(n)=\sum_{j=0}^{n}2^j*j!\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{j!}\sum_{k=0}^{j}(-1)^k*\binom{j}{k}*(j-k)^i\]\[f(n)=\sum_{j=0}^{n}2^j*j!\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{j!}\sum_{k=0}^{j}(-1)^k*\frac{j!}{k!(j-k)!}*(j-k)^i\]
後面一個\(\sum\)是卷積形式,可以\(NTT\)求解,(其中\(\frac{\sum_{i=0}^{n}j^i}{j!}=\frac{j^{n+1}-1}{(j-1)j!}\))
#include<bits/stdc++.h> #define LL long long #define db double #define il inline #define re register using namespace std; const int N=100000+10,M=270000+10,mod=998244353,g=3; il int rd() { int x=0,w=1;char ch=0; while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();} return x*w; } int n,m,nn,l,a[M],b[M],rdr[M]; il int fpow(int a,int b) { int an=1; while(b){if(b&1) an=1ll*an*a%mod;a=1ll*a*a%mod,b>>=1;}\ return an; } il void ntt(int *a,int op) { int W,w,x,y; for(int i=0;i<nn;++i) if(i<rdr[i]) swap(a[i],a[rdr[i]]); for(int i=1;i<nn;i<<=1) { W=fpow(g,(mod-1)/(i<<1)); if(op==-1) W=fpow(W,mod-2); for(int j=0;j<nn;j+=i<<1) { w=1; for(int k=0;k<i;++k,w=1ll*w*W%mod) { x=a[j+k],y=1ll*w*a[j+k+i]%mod; a[j+k]=(x+y)%mod,a[j+k+i]=(x-y+mod)%mod; } } } } int fac[N],iac[N],inv[N]; int main() { n=rd(); fac[0]=1; for(int i=1;i<=n;++i) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod; iac[n]=fpow(fac[n],mod-2); for(int i=n;i>=1;--i) iac[i-1]=1ll*iac[i]*i%mod; for(int i=1;i<=n;++i) inv[i]=1ll*iac[i]*fac[i-1]%mod; for(int i=0,j=1;i<=n;++i,j=-j) a[i]=(1ll*j*iac[i]%mod+mod)%mod; for(int i=0;i<=n;++i) b[i]=1ll*(fpow(i,n+1)-1)*iac[i]%mod*inv[i-1]%mod; b[0]=1,b[1]=n+1; m=n+n; for(nn=1;nn<=m;nn<<=1) ++l; for(int i=0;i<nn;++i) rdr[i]=(rdr[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1)); ntt(a,1),ntt(b,1); for(int i=0;i<nn;++i) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod; ntt(a,-1); int invnn=fpow(nn,mod-2),ans=0; for(int i=0,j=1;i<=n;++i,j=(j<<1)%mod) ans=(ans+1ll*j*fac[i]%mod*a[i]%mod*invnn%mod)%mod; printf("%d\n",ans); return 0; }