一、題意

令 X = n!, 給定一大於1的正整數p 求一個k使得 p ^k | X 並且 p ^(k + 1) 不是X的因子

輸入為兩個數n, p (1e18>= n>= 10000 >= p >= 2)

二、分析

2.1前置知識：階乘質因數分解

定理：在n！的標準分解式中，質因數p的指數h為

\[h = \left[ {\frac{n}{p}} \right] + \left[ {\frac{n}{{{p^2}}}} \right] + ... = \sum\limits_{r = 1}^\infty {\left[ {\frac{n}{{{p^r}}}} \right]} \]

推論：n！可以由他的質因數表示為

\[n! = \prod\limits_{p \le n} {{p^{\sum {\left[ {\frac{n}{{{p^r}}}} \right]} }}} \]

2.2本題思路

由題意可得，p的質因數肯定是n！的質因數；所以首先將p做質因數分解，得到p的各個質因數的指數h，再對每一個p的質因數求其在n！中的指數H

那麽題中所求的K肯定是每一對H/h的數值中的最小值

\[ans = \arg \min \frac{{{H_i}}}{{{h_i}}}\]

三、代碼

 1 # include <iostream>
 2 # include <cstdio>
 3
 
 using namespace std;
 4 const long long INF = 1e18+10;
 5 long long n,p;
 6 long long H(long long i)
 7 {
 8     long long res = 0;
 9     long long temp = n;
10     while(temp)
11     {
12         res += temp/i;
13         temp /= i;
14     }
15     return res;
16 }
17 void Solve()
18 {
 
19     long long ans = INF;
20     for(int i=2;i<=p;i++)
21     {
22         if(p%i == 0)
23         {
24             long long h = 0;
25             while(p%i==0)
26             {
27                 h++;
28                 p/=i;
29             }
30             ans = min(ans,H(i)/h);
31         }
32     }
33     printf("%lld\n",ans);    
34 }
35 int main()
36 {
37     while(scanf("%lld%lld",&n,&p)!=EOF)
38     {
39         Solve();
40     }
41     return 0;
42 }

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