一、題意

某個遊戲體系中共有N種卡牌，其中M種是稀有的。小貝每次和電腦對決獲勝之後都會有一個抽卡機會，這時系統會隨機從N種卡中選擇一張給小貝。普通卡可能多次出現，而稀有卡牌不會被重復抽到。小貝希望收集到K種稀有卡牌，她想知道期望需要多少次獲勝才能實現這個目標。

二、分析

2.1前置知識

獨立重復試驗的數學期望一個例子：一次射箭射中的概率為p，連續射擊直到射中，射箭次數X的概率分布為\[P\left( {X = k} \right) = {\left( {1 - p} \right)^{k - 1}}p\]

可以求得其數學期望為\[E\left( X \right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {k{{\left( {1 - p} \right)}^{k - 1}}p = p\sum\limits_{k = 1}^\infty {k{{\left( {1 - p} \right)}^k} = \frac{1}{p}} } \]

2.2本題思路

原題意敘述的不清楚，應該是一共N張卡牌，其中M張為稀有卡；對卡牌做如下操作：不斷在牌堆中取牌，取到普通牌後放回，取到稀有牌後不放回，直到取到K張稀有牌為止，求完成這一目標的期望操作數。

由於取出普通牌會放回，所以取出普通牌後不會改變在剩余牌堆中取出稀有牌的概率；所以將事件"在牌堆中取出K張稀有牌"表示為事件X，事件${x_i}$表示"共N-i張牌，其中M-i張稀有牌的牌堆中取到一張稀有牌"，根據前置知識的分析，一次事件${x_i}$就對應一次射箭的場景；

那麽事件X可以表示為$X = \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {{x_i}}$，根據期望的可加性有$ans = \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {\frac{{N - i}}{{M - i}}}$

三、代碼

 1 # include <iostream>
 2 # include <cstdio>
 3 using namespace std;
 4 int T,N,M,K;
 5 void Init()
 6 {
 7     scanf("%d%d%d",&N,&M,&K);
 8 }
 9 double Solve()
10 {
11     double res = 0;
12     for(int i=0;i<K;i++)
13         res+=((double)(N-i))/((double
 
)(M-i));
14     return res;
15 }
16 int main()
17 {
18     scanf("%d",&T);
19     for(int i=1;i<=T;i++)
20     {
21         Init();
22         double ans = Solve();
23         printf("Case #%d: %f\n",i,ans);
24     }
25     return 0;
26 }

牛客國慶集訓 紙牌遊戲 概率