求樹的最大獨立集，最小點覆蓋，最小支配集 貪心and樹形dp
目錄
- 求樹的最大獨立集，最小點覆蓋，最小支配集
- 三個定義
- 貪心解法
- 樹形DP解法
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求樹的最大獨立集，最小點覆蓋，最小支配集
三個定義
最大獨立集：
?對一個圖選出盡量多的點組成一個集合，滿足這些點之間沒有邊相連。所有獨立集中，頂點數最多的稱作最大獨立集。
最小點覆蓋：
?對一個圖選出盡量少的點組成一個集合，滿足圖中所有的邊均有端點屬於這個集合。所有覆蓋集中，頂點數最少的稱作最小點覆蓋。
最小支配集：
?對一個圖選出盡量少的點組成一個集合，滿足圖中剩余的點都和集合中的點有邊相連。從集合中出去任何一個點之後若不再是支配集，則此支配集是極小支配集。所有支配集中，頂點數最少的稱作最小支配集。
貪心解法
樹的最大獨立集：
?先求一遍dfs序，倒序遍歷。若此節點未被標記，則將此端點加入獨立集，並標記此節點和其父節點。
樹的最小點覆蓋：
?先求一遍dfs序，倒序遍歷。若此節點及其父節點均未被標記，則將其父節點加入覆蓋集，並標記此節點及其父節點。
樹的最小支配集：
?先求一遍dfs序，倒序遍歷。若此節點未被標記，把其父節點加入支配集(前提是它不在支配集中)，然後標記此節點，父節點及其爺爺節點。
樹形DP解法
樹的最大獨立集：
\(dp[i][0]\)表示點i在獨立集中；\(dp[i][1]\)表示點i不在獨立集中
\[
dp[u][0] = 1 + \sum dp[v][1];\dp[u][1] = \sum max(dp[v][0], dp[v][1]);
\]
樹的最小點覆蓋：
\(dp[i][0]\)表示點i在點覆蓋集中；\(dp[i][1]\)表示點i不在點覆蓋集中
\[
dp[u][0] = 1 + \sum min(dp[v][0], dp[v][1]);\dp[u][1] = \sum dp[v][0];
\]
樹的最小支配集：
\(dp[i][0]\)表示點i屬於支配集,並且以點i為根的子樹都被覆蓋了的情況下支配集中所包含最少點的個數
\(dp[i][1]\)表示點i不屬於支配集合,且以i為根的子樹都被覆蓋,且i被其中不少於一個子節點覆蓋的情況下支配集所包含最少點的個數
\(dp[i][2]\)表示點i不屬於支配集合,且以i為根的子樹都被覆蓋,且i沒被子節點覆蓋的情況下支配集中所包含最少點的個數.即i將被父節點覆蓋
參考博文：Ash-ly
求樹的最大獨立集，最小點覆蓋，最小支配集 貪心and樹形dp