單調隊列優化多重背包
樸素的多重背包算法為
\[
f[i][j]=\max(f[i-1][j-kv_i]+kw_i)(kv_i\le j,k\le lim[i])?
\]
時間復雜度為\(O(V\sum lim[])\)。
先枚舉i。設\(d=\lfloor\frac{j}{lim[i]}\rfloor\)，\(r=j-lim[i]\cdot d\)。則上述轉移可改寫為
\[
f[i][j]=\max(f[i-1][r+kv_i]+(d-k)w_i)
\]
將\(d\)移到\(\max()\)外面，得
\[
f[i][j]=\max(f[i-1][r+kv_i]-kw_i)+dw_i
\]
此時\(\max()\)
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