5402 選課 0x50「動態規劃」例題

描述

學校實行學分制。每門的必修課都有固定的學分，同時還必須獲得相應的選修課程學分。學校開設了 N(N≤300) 門的選修課程，每個學生可選課程的數量 M 是給定的。學生選修了這 M 門課並考核通過就能獲得相應的學分。
在選修課程中，有些課程可以直接選修，有些課程需要一定的基礎知識，必須在選了其他的一些課程的基礎上才能選修。例如《Windows程序設計》必須在選修了《Windows操作基礎》之後才能選修。我們稱《Windows操作基礎》是《Windows程序設計》的先修課。每門課的直接先修課最多只有一門。兩門課可能存在相同的先修課。
你的任務是為自己確定一個選課方案，使得你能得到的學分最多，並且必須滿足先修條件。假定課程之間不存在時間上的沖突。

輸入格式

輸入文件的第一行包括兩個整數N、M（中間用一個空格隔開）其中1≤N≤300,1≤M≤N。
以下N行每行代表一門課。課號依次為1，2，…，N。每行有兩個數（用一個空格隔開），第一個數為這門課先修課的課號（若不存在先修課則該項為0），第二個數為這門課的學分。學分是不超過10的正整數。

輸出格式

輸出文件只有一個數,實際所選課程的學分總數。

樣例輸入

7 4
2 2
0 1
0 4
2 1
7 1
7 6
2 2

樣例輸出

13

題意：

從n門課中選出m門課，使得他們的學分和最大。有的課程有先修課。

思路：

n門課構成了一個森林，給他們添加一個編號為0的虛擬節點，表示沒有先修課的課程的先修課。

dp[x][t]表示在以x為根的樹中選出t門能獲得的最高學分。他是由他的子樹的最大值加上自己的學分得來。

實際上是一個分組背包模型。有p|son(X)|組物品，每組物品有t-1個，其中第i組的第j個物品的體積為j，價值為dp[yi,j]，背包的總容積為t-1。（yi是x的兒子）我們要從每組中選出不超過1個物品，使得物品體積不超過t-1的前提下，物品價值總和最大。x=0是一個特例。

背包類樹形DP，又稱有樹形依賴的背包問題。除了以“節點編號”作為樹形DP的幾階段，通常我們也像線性DP一樣，把當前背包的“體積”作為第二維狀態。

 1 //#include <bits/stdc++.h>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cmath>
 4
 
 #include<algorithm>
 5 #include<stdio.h>
 6 #include<cstring>
 7 #include<vector>
 8 #include<map>
 9 
10 #define inf 0x3f3f3f3f
11 using namespace std;
12 typedef long long LL;
13 
14 int n, m;
15 const int maxn = 305;
16 vector<int>son[maxn];
17 int sco[maxn];
18 int dp[maxn][maxn];
19 
20 void dfs(int x)
21 {
22     dp[x][0] = 0;
23     for(int i = 0; i < son[x].size(); i++){
24         int y = son[x][i];
25         dfs(y);
26         for(int t = m; t >= 0; t--){//當前背包體積
27             for(int j = t; j >= 0; j--){//選課門數（組內物品）
28                 if(t - j >= 0)
29                     dp[x][t] = max(dp[x][t], dp[x][t - j] + dp[y][j]);
30             }
31         }
32     }
33     if(x != 0){
34         for(int t = m; t > 0; t--){
35             dp[x][t] = dp[x][t - 1] + sco[x];
36         }
37     }
38 }
39 
40 int main()
41 {
42     scanf("%d%d", &n, &m);
43     for(int i = 1; i <= n; i++){
44         int f;
45         scanf("%d%d", &f, &sco[i]);
46         son[f].push_back(i);
47     }
48 
49     dfs(0);
50     printf("%d\n", dp[0][m]);
51     return 0;
52 }

CH5402 選課【樹形DP】【背包】