【樹形背包】bzoj4033: [HAOI2015]樹上染色
阿新 • • 發佈：2018-07-13
51nod 樹形 led href 分享圖片 形式 子結構 正整數 EDA
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【樣例解釋】
將點1,2染黑就能獲得最大收益。
仔細思考後會發現和51nod1677 treecnt有異曲同工之妙
Description
有一棵點數為N的樹，樹邊有邊權。給你一個在0~N之內的正整數K，你要在這棵樹中選擇K個點，將其染成黑色，並 將其他的N-K個點染成白色。將所有點染色後，你會獲得黑點兩兩之間的距離加上白點兩兩之間距離的和的收益。 問收益最大值是多少。Input
第一行兩個整數N,K。 接下來N-1行每行三個正整數fr,to,dis，表示該樹中存在一條長度為dis的邊(fr,to)。 輸入保證所有點之間是聯通的。 N<=2000,0<=K<=NOutput
輸出一個正整數，表示收益的最大值。Sample Input
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Sample Output
17【樣例解釋】
將點1,2染黑就能獲得最大收益。
題目分析
這題目第一眼看上去根本不像是背包題吧……倒像是個貪心或者奇妙結論題。
但是可以像treecut一樣，將答案按照樹上每一條邊來統計貢獻。
我們把一顆樹沿某條邊分開，看成這個樣子。
那麽顯然若知道這條邊左右兩邊黑白點各有多少個，就可以計算這個情況下的答案了。
也就是說，如果我們確定一條邊來把樹分開，那就可以依靠枚舉來確定最優答案。
觀察一下這個問題是具有最優子結構的，也就是說變成了一個樹上背包的形式：左右兩邊黑白點個數的不同情況各有體積和價值，求最大價值。
我們定義$f[x][i]$表示以$x$為根的子樹中，有$i$個黑點，這種情況的最大價值。
考慮如何轉移，
總結
一類難以通過樹形結構直接轉移的動態規劃問題，可以考慮對於邊將樹劃分為兩個部分的子問題，再分別維護答案。
【樹形背包】bzoj4033: [HAOI2015]樹上染色