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題意：求\(\sum_{i=1}^{n}\gcd(i,n)\)

首先可以肯定，\(\gcd(i,n)|n\)。

所以設\(t(x)\)表示\(gcd(i,n)=x\)的\(i\)的個數。

那麽答案很顯然就是\(\sum_{d|n}t(d)*d\)。

那麽\(t(x)\)怎麽求呢。

\[t(x)=\sum_{i=1}^{n}[\gcd(i,n)=x]\]
因為若\(\gcd(x,y)=1\),則有\(\gcd(xk,yk)=k\)。
所以
\[t(x)=\sum_{i=1}^{n}[\gcd(i,n)=x]=\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{x}\rfloor}[\gcd(i,\lfloor\frac{n}{x}\rfloor)=1]=\phi(\lfloor\frac{n}{x}\rfloor)\]

我們可以在\(O(\sqrt n)\)的時間復雜度內求出\(n\)的所有約數，約數個數是\(\log n\)級別的，求\(\phi\)是\(O(\sqrt n)\)的時間復雜度，所以總時間復雜度\(O(\log n\sqrt n)\)

#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n;
ll phi(ll x){
    int s = sqrt(x); ll ans = x;
    for(int i = 2; i <= s && x != 1; ++i)
       if(!(x % i)){
         ans = ans / i * (i - 1);
         while(!(x % i))
           x /= i;
       }
    if(x != 1) ans = ans / x * (x - 1);
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%lld", &n);
    int i; ll ans = 0;
    for(i = 1; (ll)i * i < n; ++i)
       if(!(n % i))
         ans += phi(n / i) * i + (n / i) * phi(i);
    if(i * i == n) ans += phi(i) * i;
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
} 
 

【洛谷 P2303】 [SDOi2012]Longge的問題