最近在刷省選題......大致上是按照省份刷的。
不過上面的題目順序是按照寫題的順序排列的，所以可能會有點亂哈。

[BZOJ2823][AHOI2012]信號塔

最小圓覆蓋，隨機增量法，期望復雜度\(O(n)\)。

[Luogu4899][IOI2018] werewolf 狼人

\(\mbox{Kruskal}\)重構樹+二維數點。

[Luogu4900]食堂

求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\frac ij-\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\lfloor\frac ij\rfloor\)。
前半部分隨便弄弄就好了。
後半部分，\(\sum_{j=1}^i\lfloor\frac ij\rfloor\)

[Luogu4902]乘積

求\(\frac{\prod_{i=1}^ni^{\sum_{j=1}^i\lfloor\frac ij\rfloor}}{\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^ij^{\lfloor\frac ij\rfloor}}\)。
上半部分就是\(\sum_{i=1}^ni^{\sum_{j=1}^id(j)}\)。
下半部分，\(\prod_{j=1}^ij^{\lfloor\frac ij\rfloor}\)實質上是\(i\)的各約數的乘積，也就是\(i^{\frac{d(i)}2}\)

[BZOJ2178]圓的面積並

辛普森積分，雖然是假的。

[BZOJ4913][SDOI2017]遺忘的集合

多項式求\(\ln+\mbox{MTT}\)。誰說莫比烏斯反演的來著？

[BZOJ4911][SDOI2017]切樹遊戲

丟貓錕題解就跑

[LuoguT46780]ZJL的妹子序列

很顯然是要求\(\prod_{i=1}^n\frac{1-x^i}{1-x}\)的\(x^m\)次項系數。
一種做法是求\(\ln\)之後大力開式子，然後可以\(O(n\ln n)\)調和級數求得一多項式然後再\(\exp\)回去。
還有一種做法是拆成前後兩部分，\((\frac1{1-x})^n=(\sum_{i=0}^{\infty}x^i)^n\)

[Luogu4921]情侶？給我燒了！

設\(f_{i,j}\)表示前\(i\)對情侶已經入座，有\(j\)對情侶是挨著的的方案數。考慮插入第\(i+1\)對情侶。
\(f_{i,j}\)可以轉移到\(f_{i+1,j-2},f_{i+1,j-1},f_{i+1,j},f_{i+1,j+1}\)，分別表示第\(i+1\)對情侶分別拆散了兩對情侶、只拆散了一對情侶、沒有拆散情侶以及他倆坐在一起。註意兩人分開座時可能會導致某對情侶復合，轉移的時候要額外算一下貢獻。

[BZOJ3307]雨天的尾巴

線段樹合並模板題。樹上差分的時候，對\(lca\)與\(fa_{lca}\)打標記而不是做線段樹單點插入，即可把空間減小到一半。

[BZOJ1227][SDOI2009]虔誠的墓主人

坐標離散，橫坐標從左往右掃，維護每個縱坐標已存在的點數，組合數算一下，再用樹狀數組區間求和即可。

[BZOJ4870][SHOI2017]組合數問題

矩陣快速冪模板題。

[BZOJ3434][WC2014]時空穿梭

枚舉\(n\)維中每一維坐標的極差\(\Delta x_i\)，有
\[\sum_{\Delta x_1=1}^{m_1}\sum_{\Delta x_2=1}^{m_2}...\sum_{\Delta x_n=1}^{m_n}\binom{\gcd(\Delta x_1,\Delta x_2...\Delta x_n)-1}{c-2}\prod_{i=1}^n(m_i-\Delta x_i)\]
枚舉\(\gcd(\Delta x_1,\Delta x_2...\Delta x_n)\)，有
\[\sum_{d=1}^{\min(m)}\binom{d-1}{c-2}\sum_{\Delta x_1=1}^{m_1/d}\sum_{\Delta x_2=1}^{m_2/d}...\sum_{\Delta x_n=1}^{m_n/d}[\gcd(\Delta x_1,\Delta x_2...\Delta x_n)=1]\prod_{i=1}^n(m_i-\Delta x_id)\]
反個演
\[\sum_{d=1}^{\min(m)}\binom{d-1}{c-2}\sum_{t=1}^{\min(m)/d}\mu(t)\sum_{\Delta x_1=1}^{m_1/dt}\sum_{\Delta x_2=1}^{m_2/dt}...\sum_{\Delta x_n=1}^{m_n/dt}\prod_{i=1}^n(m_i-\Delta x_idt)\]
換個寫法
\[\sum_{d=1}^{\min(m)}\binom{d-1}{c-2}\sum_{t=1}^{\min(m)/d}\mu(t)\prod_{i=1}^n\sum_{\Delta x_i=1}^{m_i/dt}(m_i-\Delta x_idt)\]
令\(T=dt\)，改變枚舉順序
\[\sum_{T=1}^{\min(m)}(\prod_{i=1}^n\sum_{\Delta x_i=1}^{m_i/T}(m_i-\Delta x_iT))\sum_{d|T}\binom{d-1}{c-2}\mu(\frac Td)\]
令\(F(T)=\prod_{i=1}^n\sum_{\Delta x_i=1}^{m_i/T}(m_i-\Delta x_iT)\)，\(G(T)=\sum_{d|T}\binom{d-1}{c-2}\mu(\frac Td)\)。
首先\(G(T)\)在給定\(c\)的前提下可以\(O(n\ln n)\)預處理出來。
觀察\(F(T)\)，將其劃開
\[F(T)=\prod_{i=1}^nm_i\lfloor\frac{m_i}T\rfloor-\frac{T\lfloor\frac{m_i}T\rfloor(\lfloor\frac{m_i}T\rfloor+1)}2\]
如果\(\lfloor\frac{m_i}T\rfloor\)確定的話，那麽\(F(T)\)就是一個關於\(T\)的\(n+1\)次多項式。所以可以預處理\(G(T)T^i\)的前綴和，然後對於每個\(\lfloor\frac{m_i}T\rfloor\)相同的連續段暴力求\(F(T)\)。
總體復雜度\(O(n\ln nc+nmc+Tn^3\sqrt m)\)有點爆炸啊。

[BZOJ3629][JLOI2014]聰明的燕姿

直接爆搜質因子，特判最後一個大於根號的質因子即可。

[BZOJ5157][TJOI2014]上升子序列

對於前面的相同元素，直接強制從最後一個這種元素轉移即可。

[BZOJ3628][JLOI2014]天天酷跑

先枚舉跳躍高度和連跳次數，然後直接記搜轉移即可。

[BZOJ3505][CQOI2014]數三角形

正難則反，求三點共線的方案數。枚舉相隔較遠的兩點的橫縱坐標之差，然後第三個點就有\(\gcd-1\)種選法。註意特殊處理橫縱坐標差為\(0\)。

[BZOJ4001][TJOI2015]概率論

設\(f_n\)表示\(n\)點二叉樹的數量，\(g_n\)表示\(f_n\)棵二叉樹的總葉子節點個數。
最近做初賽題發現\(f_n\)就是卡特蘭數。
\(g_n\)是啥？考慮\(f_n\)中的一棵\(n\)點二叉樹，設其有\(m\)個葉子，那麽刪掉這\(m\)個葉子後就能得到\(m\)棵不同的\(n-1\)點二叉樹；而每棵\(n-1\)點二叉樹有\(n\)個位置可以掛葉子，也就是說在上述過程中被計算了\(n\)次。所以\(g_n=nf_{n-1}\)。
\(ans=\frac{g_n}{f_n}=\frac{nf_{n-1}}{f_n}=\frac{n(n+1)}{4n-2}\)。

[BZOJ3999][TJOI2015]旅遊

樹剖+線段樹兩只\(\log\)，用\(\mbox{LCT}\)寫可以做到一個\(\log\)。
每個點維護區間最大值，最小值，後面最大值減前面最小值的最大值，前面最大值減後面最小值的最大值。

[BZOJ4000][TJOI2015]棋盤

其實棋子是放在中間那一行的。
所以直接按行\(dp\)就行了。處理一下相鄰兩行的兩個狀態是否可以轉移，因為轉移都是一樣的所以可以矩乘優化，復雜度\(O(2^{3m}\log n)\)

[BZOJ5156][TJOI2014]拼圖

據說這玩意兒叫精確覆蓋？直接狀壓完事了。

[BZOJ5158][TJOI2014]Alice and Bob

因為保證\(a\)可以由一個排列得到，所以\(x\)就一定會是排列，否則不更優。貪心，盡量把數值大的放在前面，把數值小的放在後面。對於\(a_i\)值相差為\(1\)的點對建立拓撲關系，然後依次填數，最後統計一遍答案就行了。

[BZOJ5155][TJOI2014]電源插排

正解是動態開點線段樹，但是感覺比較難寫，就換了一種寫法。
開個\(\mbox{std::set}\)維護未放置的區間，平衡樹維護已放置的位置集合，支持插入刪除，找前驅後繼，統計區間點數即可。（如果叠代器支持相減的話就可以直接開兩個\(\mbox{std::set}\)做了）

[BZOJ3173][TJOI2013]最長上升子序列

其實只要能夠得到最終生成的序列就很好辦了。考慮從大到小確定每個數在最終序列裏的位置，相當於查找當前的第\(k\)大元素。\(BIT\)可做。

[BZOJ3174][TJOI2013]拯救小矮人

對於所有要出去的小矮人，一定是按照\(a+b\)權值從小到大出去最優。
排序，然後設\(f_i\)表示出去了\(i\)個小矮人時人梯的最高高度。如果\(f_j+b_i\ge h\)就可以用\(f_j-a_i\)更新\(f_{j+1}\)。

[BZOJ3175][TJOI2013]攻擊裝置

黑白染色然後跑最小割。

[BZOJ3167][HEOI2013]Sao

一條鏈是考過的原題。
如果是樹的話同樣可以設\(f_{u,i}\)表示\(u\)點子樹內，\(u\)點排在第\(i\)個的方案數，每次轉移就是合並兩個序列，枚舉\(f_{u,i}\)以及在\(u\)的前面放\(j\)個元素，根據大小限制決定是從\(f_{v,1...j}\)轉移過來還是從\(f_{v,j+1...sz_v}\)轉移過來，同樣可以用前綴和優化轉移，同時要乘上前後隔板插入的方案數\(\binom{i+j-1}{j}\times\binom{sz_u-i+sz_v-j}{sz_v-j}\)，復雜度\(O(n^2)\)。

[BZOJ4824][CQOI2017]老C的鍵盤

上一題弱化版。雙倍經驗。

[BZOJ5019][SNOI2017]遺失的答案

論一個辣雞出題人是如何被吊打的

[BZOJ3163][HEOI2013]Eden的新背包問題

預處理多重背包的前後綴\(dp\)，每組詢問\(O(m)\)回答。

[BZOJ3164][HEOI2013]Eden的博弈問題

\(f_u\)表示\(u\)點子樹內最少要選多少個葉子才能必勝，如果\(u\)點是自己控制的那麽\(f_u=\min\{f_v\}\)，否則\(f_u=\sum f_v\)。找出所有可能是最優轉移點的葉子即可。

[BZOJ2742][HEOI2012]Akai的數學作業

找到最高和最低的非零系數\(a_m,a_n\)，因為答案是有理數所以一定是\(\frac pq\)的形式，更具體的\(p\)一定是\(a_m\)的約數\(q\)一定是\(a_n\)的約數。所以暴力枚舉一下然後\(\mbox{check}\)。\(\mbox{check}\)的話，\(x\)是浮點數不好做，可以選幾個大質數做模意義下的運算判斷結果是不是\(0\)即可。

退役前的做題計劃2.0