題目描述

“歡迎啊，老朋友。”

一陣寒暄過後，廠長帶他們參觀了廠子四周，並給他們講鍛造的流程。

“我們這裏的武器分成若幹的等級，等級越高武器就越厲害，並且對每一等級的武器都有兩種屬性值 b 和 c，但是我們初始只能花 a 個金幣來生產 1 把 0 級劍……”

“所以你們廠子怎麽這麽垃圾啊，不能一下子就造出來 999 級的武器嗎？”勇者不耐煩的打斷了廠長的話。

“別著急，還沒開始講鍛造呢……那我們舉例你手中有一把 x 級武器和一把 y 級武器 (y = max(x?1,0))，我們令鍛造附加值 k = min(c x ,b y )，則你有 k/cx 的概率將兩把武器融合成一把 x + 1 級的武器。”

“……但是，鍛造不是一帆風順的，你同樣有 1 ? k/cx 的概率將兩把武器融合成一把 max(x ? 1,0) 級的武器……”

勇者聽完後暗暗思忖，他知道廠長一定又想借此機會坑騙他的零花錢，於是求助這個村最聰明的智者——你，來告訴他，想要強化出一把 n 級的武器，其期望花費為多少？

由於勇者不精通高精度小數，所以你只需要將答案對 998244353(7 ×17 × 2 23 + 1，一個質數 ) 取模即可。

輸入

第一行兩個整數 n,a，含義如題所示。

為了避免輸入量過大，第二行五個整數 bx,by,cx,cy,p，按照下列代碼來生成 b 和 c 數組。

b[0]=by+1;c[0]=cy+1;
for(int i=1;i<n;i++){
　　b[i]=((long long)b[i-1]*bx+by)%p+1;
　　c[i]=((long long)c[i-1]*cx+cy)%p+1;
}

輸出

輸出一行一個整數，表示期望花費。

樣例輸入

0 6432
4602677 3944535 2618884 6368297 9477531

樣例輸出

6432

題解

成功的概率p1=k / c[ i-1 ]，失敗的概率p2= ( c[ i-1 ] - k ) / c[ i-1 ]。設dp[ i ]表示升到 i 級的期望花費 ，那麽dp[ i ] = p1 * ( dp[ i-1 ] + dp[ i-2 ] ) + p2* ( dp[ i-1 ] + dp[ i ] )。移項化簡：

dp[ i ] = dp[ i-1 ]+ dp[ i-2 ] + ( c[ i-1 ] - k ) * dp[ i-1 ] / k 。預處理k的逆元，遞推一遍即可。

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long

const int maxn=1e7+50;
const int mod=998244353;

int n,a,bx,by,cx,cy,p,k,inv[maxn];
int b[maxn],c[maxn];
ll dp[maxn];

template<typename T>void read(T& aa){
    char cc; ll ff;aa=0;cc=getchar();ff=1;
    while((cc<‘0‘||cc>‘9‘)&&cc!=‘-‘) cc=getchar();
    if(cc==‘-‘) ff=-1,cc=getchar();
    while(cc>=‘0‘&&cc<=‘9‘) aa=aa*10+cc-‘0‘,cc=getchar();
    aa*=ff;
}

ll qpow(ll a,ll b){
    ll ans=1;a%=mod;
    for(ll i=b;i;i>>=1,a=a*a%mod)
    if(i&1) ans=ans*a%mod;
    return ans;
}

void init(){
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
    inv[i]=(ll)inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
}

int main(){
    freopen("forging.in","r",stdin);
    freopen("forging.out","w",stdout);
    read(n),read(a);
    read(bx),read(by),read(cx),read(cy),read(p);
    b[0]=by+1;c[0]=cy+1;
    for(int i=1;i<n;i++){
        b[i]=((long long)b[i-1]*bx+by)%p+1;
        c[i]=((long long)c[i-1]*cx+cy)%p+1;
    }
    init();
    dp[0]=a;
    k=min(c[0],b[0]);
    dp[1]=(2ll*k*a%mod+1ll*a*(c[0]-k+mod)%mod)%mod*inv[k]%mod;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        k=min(c[i-1],b[i-2]);
        dp[i]=((dp[i-1]+dp[i-2])%mod+1ll*dp[i-1]*(c[i-1]-k+mod)%mod*inv[k]%mod)%mod;
    }
    cout<<dp[n]<<endl;
    return 0;
}

【九校聯考】鍛造