【bzoj2084】[Poi2010]Antisymmetry
2084: [Poi2010]Antisymmetry
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Description
對於一個01字符串,如果將這個字符串0和1取反後,再將整個串反過來和原串一樣,就稱作“反對稱”字符串。比如00001111和010101就是反對稱的,1001就不是。
現在給出一個長度為N的01字符串,求它有多少個子串是反對稱的。
Input
第一行一個正整數N (N <= 500,000)。第二行一個長度為N的01字符串。
Output
一個正整數,表示反對稱子串的個數。
Sample Input
811001011
Sample Output
7hint
7個反對稱子串分別是:01(出現兩次), 10(出現兩次), 0101, 1100和001011
HINT
Source
鳴謝 JZP
題意:
求一個01串中“反回文”子串的個數。“反回文”的定義為str[i]=!str[N-i+1]。
題解:
這道題枚舉回文子串中間位置+二分答案即可AC,但實際上存在一種名為Manacher的線性算法。
我記得我個人解決回文子串問題的復雜度從O(N^3)到O(N^2)再到O(NlogN)不斷進步,這次終於達到理論上的下限了……
(以下圖片全部轉自CSDN某dalao,侵刪)
一般的回文串算法都是枚舉回文串的中心位置然後分奇偶討論。但Manacher算法提供了一種巧妙的方法使得可以將奇偶回文串在一起處理。
具體方法是在原串每兩個字符間插入一個分隔符,再在頭尾分別插入一個分隔符,分隔符要求不在原串中出現。如下:
然後我們考慮設len[i]表示在新串中以i為中心的回文串向右延伸的長度。如下:
接著歸納求解,假設我們已經求出了len[1~i-1]的值,現在要求len[i],記其中向右延伸到的位置最遠的len[Po]為P(與擴展kmp神似),有如下幾種情況:
若i<=P,那麽找到i相對於po的對稱位置j,如果len[j]<=P-i,如圖:
此時由對稱性可得len[i]=len[j]。
如果len[j]>P-i,如圖:
此時len[i]至少為P-i,由於i右邊的字符沒有被匹配過,我們需要依次匹配並更新Po與P。
若i>P,如圖:
此時之前處理的信息對i沒有什麽用,我們仍然需要依次匹配並更新。
Manacher算法每次新匹配k個位置,匹配完即退出。每個位置會被計算且僅被計算一次,所以該算法的復雜度是線性的。
這道題即是Manacher算法的模板,只需要把匹配運算修改一下即可。
代碼:
#include<algorithm> #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> using namespace std; #define MAXN 500005 #define MAXM 500005 #define INF 0x7fffffff #define ll long long char tp[MAXN],str[MAXN<<1|1]; ll len[MAXN<<1|1]; inline ll read(){ ll x=0,f=1; char c=getchar(); for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c==‘-‘) f=-1; for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-‘0‘; return x*f; } inline void solve(ll N){ for(ll i=1;i<=N;i++) str[(i<<1)-1]=‘#‘,str[i<<1]=tp[i]; str[N<<1|1]=‘#‘;str[0]=‘!‘;str[(N<<1|1)+1]=‘?‘; return; } inline bool check(char x,char y){return (x==‘#‘&&y==‘#‘)||(((x-‘0‘)^(y-‘0‘))==1);} inline ll Manacher(ll N){ ll pos=0,lag=0,ans=0; for(ll i=1;i<=N;i++){ len[i]=(i<lag)?min(lag-i+1,len[(pos<<1)-i]):0; while(check(str[i+len[i]],str[i-len[i]])) len[i]++; if(i+len[i]-1>lag) lag=i+len[i]-1,pos=i; ans+=len[i]>>1;//cout<<len[i]<<endl; }return ans; } int main(){ ll N=read();cin>>tp+1;solve(N); printf("%lld\n",Manacher(N<<1|1)); return 0; }
【bzoj2084】[Poi2010]Antisymmetry