上面的圖像是函數sn[1]的一個圖。

模量、參數和模數角
Jacobi函數有兩個輸入。我們通常認為Jacobi函數是第一個輸入的函數，第二個輸入是固定的。這第二個輸入是一個“撥號”，你可以轉動它來改變他們的行為。

有幾種方法可以指定此撥號。我以“撥號”一詞開始，而不是“參數”，因為在這個上下文中參數具有技術意義，一種描述刻度盤的方法。除了“參數”，您還可以將Jacobi函數描述為模數或模角。這篇文章將是一種羅塞塔石頭，展示了描述雅可比橢圓函數的每一種方式是如何相關的。

這，這個，那，那個參數m是[0，1]中的實數。這，這個，那，那個互補參數是m‘ = 1 - m. 艾布拉莫維茨和斯特貢例如，將Jacobi函數sn和cn編寫為sn(u | m)和CN(u | m)他們也用m1=而不是m‘表示互補參數。

這，這個，那，那個模數k的平方根m。如果m代表模數，但這不是傳統。相反，m表示參數和k是模數。這，這個，那，那個互補模量k‘是互補參數的平方根。

這，這個，那，那個模角α是由m=SIN 2α。

註意，作為參數m等於零，模數也是零。k以及模塊角α。當這三個函數中的任意一個變為零時，Jacobi函數sn和cn收斂到它們對應的正弦和余弦。因此，無論您的刻度盤是參數、模數還是模角，當您將刻度盤轉向零時，sn收斂到正弦，cn收斂到余弦。

作為參數m等於1，模數也是1。k，但模塊化角度α進入π/2。所以如果你的刻度盤是參數或者模數，它會變成1。但是，如果您認為您的撥號是模塊化的角度，它將進入π/2。在這兩種情況下，當你將刻度盤向右轉時，sn收斂到雙曲割線，cn收斂到常量函數1。

季度期
除了參數、模數和模角外，還可以看到Jacobi函數K和K“”這些被稱為季度期是有充分理由的。函數sn和cn有周期4。K當你沿著真實的軸移動，或者在復雜平面的任何地方水平移動。他們也有第四期IK“”也就是說，當移動距離為4時，函數會重復。K‘垂直[2]。

四分之一周期是模數的函數。季度期K沿著真實的軸線

功能K( m)稱為“第一類完全橢圓積分”。

振幅

有兩種指定第一個參數的約定，要麽寫成φ，要麽寫成u。這些都是與.有關的.

角φ稱為振幅。(是的，這是一個夾角，但它被稱為振幅.)

當我們上面說Jacobi函數有4周期的時候K，這是從變量的角度來看的。u。請註意，當φ=π/2，u = K.

數學中的Jacobi橢圓函數
Mathematica使用u第一個參數的約定和第二個參數的參數約定。

數學函數JacobiSN[u, m]用參數計算函數snu參數m。在A&S的表示法中，sn(u | m).

同樣，JacobiCN[u, m]用參數計算函數cnu參數m。在A&S的表示法中，cn(u | m).

到目前為止，我們還沒有討論過Jacobi函數DN，但它是在Mathematica中實現的JacobiDN[u, m].

將振幅φ作為u是JacobiAmplitude[um m].

計算季度期間的函數。K從參數m是EllipticK[m].

Python中的Jacobi橢圓函數
SciPy庫有一個Python函數，它同時計算四個數學函數。功能scipy.special.ellipj有兩個論點，u和m，就像Mathematica一樣，並返回sn(u | m)，CN(u | m)、DN(u | m)，以及振幅φ(u, m).

功能K( m)在Python中實現為scipy.special.ellipk.

相關員額
[1]情節是用JacobiSN[0.5, z]和功能ComplexPlot所述這裏.

[2]嚴格地說，4IK“是”a期間。這是CN的最小垂直周期，但2IK是sn的最小垂直周期。

用Mathematica和SciPy闡明Jacobi橢圓函數的定義方法