matlab三維擬合（多元線性迴歸）

問題描述

今天同學問了我一個問題，大概意思是給了你三列輸入資料，一列輸出資料，想用一個線性超平面做一個最小二乘擬合（注意這裡不能叫插值）。

一點思考

剛聽到這個問題，同學說的是做插值，說想要做一個插值，這種說法不準確的，不想說迴歸的話，你可以說這是一個擬合。插值和擬合的區別在哪呢？插值要求你做出來的函式（比如說多項式插值）要經過所有給定的資料點，而擬合只要求儘可能地經過，但不要求所有點都落在函式上。“儘可能”，可以說是基於最小二乘的一種儘可能。一般我們說的n次多項式插值（一維），是給你若干個資料點，讓你去做n次多項式插值，如果給定的點的個數小等於n+1，那麼這個插值多項式是存在的，它能保證給定的已知資料點都落在這個多項式（影象）上，但是不一定唯一，如果給定的點大於n+1，那麼不好意思，這時候，插值函式不存在，也就說不能插值。擬合，要求你給定一個函式表示式，裡面帶有未知數（輸入），也帶有一些未知的引數，現在讓你去確定這些未知引數，使得這個表示式儘可能地去擬合一些輸入點。
簡單地說，就是插值要求已給定的每個點都精確落在函式上，單這個要求不滿足時，插值就不存在。擬合是給定你函式形式，要求已給定的每個點都儘可能地落在函式上，它總是存在的。但給定n+1個點，那麼n次多項式插值和n次多項式擬合就是一樣樣的，精確且唯一。

簡單分析

同學說的這個問題啊，你要是一心覺得這是個插值問題，就容易想到matlab中的interp3這個函式，而且裡面也有一個引數是選定為線性插值。為什麼多個數據點，但是還會有線性插值這東西的存在呢？聽起來跟我前面說的矛盾。其實啊，matlab的interp函式的插值是區域性的，也就是說，它所謂的線性插值，插出來的是分段線性函式 ，用的是兩個相鄰的點來做線性插值，這和我們的要求是不一樣的。
怎麼辦呢？對於三維的線性擬合問題，有一些內建的matlab函式是可以用的，比如說rstool、griddata、regress和fitlm等等。我這裡以regress為例，來做個實現。

實現

regress函式是用來做迴歸的，所謂的多維的線性擬合，不就是多元線性迴歸麼，如果學過一點統計的話，這個是不難理解的。
regress的基本用法就是[b,bint,r,rint,stats] = regress(y,X);

• 這裡的 b是擬合得到方程的係數矩陣，b(1)表示X的第一列代表的變數座標分量的係數（一般設為常數項），b(2)表示X的第二列代表的變數座標分量的係數（比如可以設為x1）……以此類推……
• bint是迴歸係數的區間
• r殘差
• rint置信區間
• stats用於檢驗迴歸模型是否正確，分別是R的平方（越接近1越好），F值，P值（儘可能小，比如說P<0.05就表示擬合很好）。

此時，我care的只是b值多少，在看看stats的第一個值是不是接近1。
給出一個簡單的程式碼示例如下：

clc
clear

%% 多元線性迴歸模型
y=[7613.51  7850.91  8381.86  9142.81 10813.6]';
x1=[7666 7704 8148 8571 8679 ]';
x2=[16.22 16.85 17.93 17.28 17.23]';
x3 = x1.*x2;
X=[ones(size(y,1)) x1 x2 x3];
[b,bint,r,rint,stats] = regress(y,X);
rcoplot(r,rint) 
%% 預測和計算
X_in = [8000 50 10000]';%測試資料，每一列表示一個變數
X_pre = [ones(size(X_in,1),1) X_in];
y_pre = X_pre*b;

 

這裡的X在每一列變數構成的變數集前面再加一列1，表示擬合結果中，這一列“變數”對應的係數值為常數。那麼你在輸入新的資料做預測的時候，也得在變數前面加一列1。rcoplot拿來幹嘛用呢？大概就是想用殘差圖讓你直觀地看看擬合的效果如何，看不同沒事，之家看R方值是不是靠近1也是很夠了。
因為是三維的，每個變數都有三個值（對應三個座標分量），這個時候，一般是用點的顏色深淺來代表函式值，想要做個圖直觀看一下擬合效果是不大好弄的。

以上就是三維或者更高維資料點的全域性擬合的一個方法，全域性的擬合，不代表區域性的插值，這個不能interp函式混為一談。這種擬合放到統計中，叫做迴歸。迴歸往往和最小化誤差和是分不開的，這種思想就叫做最小二乘。