有限元方法入門:有限元方法簡單的二維算例(三角形剖分)
阿新 • • 發佈:2018-10-31
有限元方法簡單的二維算例(三角形剖分)
算例描述
我們對下述橢圓邊值問題 \label{eq1}
其中,
注:問題的真解為 。
變分問題
,乘([eq1])式兩邊,使用格林公式,利用邊界條件,易得:\label{eq2}
其中 為方程中的右端項。令\label{eq3}
容易證明,原問題([eq1])等價於變分問題: \label{eq4}
事實上,在一定連續性的要求下,強解為弱解,弱解也是強解,二者等價。故求解問題([eq1])變為了求解問題([eq4])。更一般的變分問題,描述為:\label{eq5}
有限元離散
問題轉化
我們來考慮上述變分問題的有限維逼近,即構造
的有限維子空間
,考慮如下的離散問題:\label{eq6}
我們用問題([eq6])近似問題([eq5]),後者的解逼近前者的解。所以我們可以通過求([eq6])的解作為近似解。
設
空間中的一組基為
,若
(為了書寫方便,不加說明,求和指標都為1到N),我們需要求的是組合係數
,將
代入,並依次分別取
為每個基函式,我們可以得到: \label{eq7}