P3089 [USACO13NOV]POGO的牛Pogo-Cow

FJ給奶牛貝西的腳安裝上了彈簧，使它可以在農場裡快速地跳躍，但是它還沒有學會如何降低速度。

FJ覺得讓貝西在一條直線的一維線路上進行練習，他在不同的目標點放置了N (1 <= N <= 1000)個目標點，目標點i在目標點x(i)，該點得分為p(i)。貝西開始時可以選擇站在一個目標點上，只允許朝一個方向跳躍，從一目標點跳到另外一個目標點，每次跳躍的距離大於等於上一次跳躍的距離相等，並且必須跳到一個目標點。

每跳到一個目標點，貝西可以拿到該點的得分，請計算他的最大可能得分。

Solution

這題日了我好久啊
剛開始推了一下以為是單調佇列
後面發現有個點（沒打草稿腦算）推錯了。。

設 \(dp[i][j]\) 為跳到第 \(i\) 個點， 從 \(j\) 點跳過來的最大價值
那麼容易想到如下轉移： \[dp[i][j] = \max_{dis(i, j) \geq dis(j, k)}dp[j][k] + v[i]\]
其複雜度為 \(O(n^{3})\)， 難以接受
考慮優化， 能不能省掉某一維列舉
當然從可行性入手， 觀察如下式子： \[dis(i, j) \geq dis(j, k)\]
對於一個特定的 \(j\) ， 我們將其dp陣列全部列出 \[dp[j][1], dp[j][2], dp[j][3],...,dp[j][j]\]
排除 \(i\) 的影響， 我們先把式子寫成 \(dis(j, k) \leq t\)

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<climits>
#define LL long long
#define REP(i, x, y) for(int i = (x);i <= (y);i++)
using namespace std;
int RD(){
    int out = 0,flag = 1;char c = getchar();
    while(c < '0' || c >'9'){if(c == '-')flag = -1;c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9'){out = out * 10 + c - '0';c = getchar();}
    return flag * out;
    }
const int maxn = 2019;
int num, ans;
struct Point{int p, v;}p[maxn];
int dp[maxn][maxn];//跳到i，從j跳過來的最大得分
bool cmp1(Point a, Point b){return a.p < b.p;}
bool cmp2(Point a, Point b){return a.p > b.p;}
void init(){
    num = RD();
    REP(i, 1, num)p[i] = (Point){RD(), RD()};
    }
int head[maxn];//目前合法的第一個dp[i][x]位置
int maxx[maxn];//目前最大的關於i的上一項
void DP(){
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    REP(i, 1, num)dp[i][i] = maxx[i] = p[i].v, head[i] = i;//作為起點
    REP(i, 1, num){
        REP(j, 1, i - 1){
            dp[i][j] = maxx[j] + p[i].v;
            ans = max(ans, dp[i][j]);
            }
        REP(j, 1, i){
            while(head[j] > 1 && (abs(p[i + 1].p - p[j].p) >= abs(p[j].p - p[head[j] - 1].p))){
                head[j]--;
                maxx[j] = max(maxx[j], dp[j][head[j]]);
                }
            }
        }
    }
void solve(){
    sort(p + 1, p + 1 + num, cmp1);//順著排序
    DP();
    sort(p + 1, p + 1 + num, cmp2);//倒著排序
    DP();
    printf("%d\n", ans);
    }
int main(){
    init();
    solve();
    return 0;
    }