[ $\frak{Link}$]

這道題屬於棋盤覆蓋問題的變形。
這一類問題在固定行數/列數的情況下是一類十分經典的構造dp；
不論行數/列數，這類問題一般都有明顯的輪廓線概念。
同時在資料範圍進一步擴大的情況下、可能還可以用矩陣來優化轉移。
關於棋盤覆蓋問題也有組合學公式，不過不會要求掌握。

這道題在（單純的）狀態壓縮和輪廓線的意義下解法是不同的，並且本題的輪廓線解法優於一般的狀態壓縮。
建議在大約掌握狀態壓縮dp的一般解題方法之後寫這道題目入門輪廓線。

狀態壓縮

　很容易想到壓縮行的狀態進行轉移。
　每行都要填滿，所以記錄上一行狀態是沒有用的，要記錄上一行覆蓋了這一行哪些地方。
　然後列舉這一行的可行狀態，更新。

　實際上狀態裡面記錄的是上一行沒有覆蓋這一行的哪些地方
　因為這樣比起記錄覆蓋，可以更簡單地通過位運算判可行。

　注意列舉狀態時候還是要列舉 $\mathfrak{0}$

Accepted 863b
G++ 63ms 812k
#include<cstdio>
 

#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
using namespace std;
int N,M;
long long F[12][2050]={};
bool C[2050]={};
bool check(int x)
{
	int t=0;
	while(x)
	{
		if(x&1)
		{
			++t;
		}
		else
		{
			if(t&1)return 0;
			t=0;
		}
		x>>=1;
	}
	if(t&1)return 0;
	return 1;
}
int main()
{
	for(int i=0;i<(1<<11);++i)if(check(i))C[i]=1;
	while(~scanf("%d%d",&N,&M))
	{
		if(!(N|M))return 0;
		if(N<M)swap(N,M);
		if((N*M)&1)
		{
			printf("0\n");
			continue;
		}
		memset(F,0,sizeof(F));
		for(int i=0;i<(1<<M);++i)if(check(i))F[1][i]=1;
		for(int i=1;i<N;++i)
		{
			for(int j=0;j<(1<<M);++j)
			{
				for(int k=0;k<(1<<M);++k)
				{
					if((j|k)!=((1<<M)-1))continue;
					if(!C[j&k])continue;
					F[i+1][k]+=F[i][j];
				}
			}
		}
		printf("%lld\n",F[N][(1<<M)-1]);
	}
	return 0;
}

輪廓線

　按行轉移會產生許多無效的重複計算。
　考慮逐格轉移。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
using namespace std;
int n,m;
bool p;
long long F[2][2052]={};
int main()
{
	while(~scanf("%d%d",&n,&m))
	{
		if(!n)return 0;
		if((n*m)&1)
		{
			printf("0\n");
			continue;
		}
		if(n<m)swap(n,m);
		memset(F[0],0,sizeof(F[0 ]));
		p=0; F[0][0]=1;
		for(int i=0;i<n;++i)
		{
			for(int j=0;j<m;++j)
			{
				p=!p;
				memset(F[p],0,sizeof(F[p]));
				for(int S=0;S<(1<<m);++S)
				{
					if(!F[!p][S])continue;
					F[p][S^(1<<j)]+=F[!p][S];
					if(j&&(S&(1<<j-1))&&(!(S&(1<<j))))F[p][S^(1<<j-1)]+=F[!p][S];
				}
			}
		}
		printf("%lld\n",F[p][0]);
	}
    return 0;
}

數學公式

$\frak{ans=2^{\frac{nm}{2}}\prod\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^m\sqrt[4]{cos^2(\frac{i\pi}{n+1})+cos^2(\frac{j\pi}{m+1})}}$
具體證明我當然不會啦（
精度擺在那裡，這個公式算起來不是很準的