Description

小凸和小方相約玩密室逃脫，這個密室是一棵有n個節點的完全二叉樹，每個節點有一個燈泡。點亮所有燈泡即可逃出密室。 每個燈泡有個權值Ai，每條邊也有個權值bi。點亮第1個燈泡不需要花費，之後每點亮1個新的燈泡V的花費，等於上一個被點亮的燈泡U到這個點V的距離Du,v，乘以這個點的權值Av。 在點燈的過程中，要保證任意時刻所有被點亮的燈泡必須連通，在點亮一個燈泡後必須先點亮其子樹所有燈泡才能點亮其他燈泡。 請告訴他們，逃出密室的最少花費是多少。

Input

第1行包含1個數n，代表節點的個數 第2行包含n個數，代表每個節點的權值ai。(i=1，2，…，n) 第3行包含n-l個數，代表每條邊的權值bi，第i號邊是由第(i+1)/2號點連向第i+l號點的邊。(i=1，2...N-1)

Output

輸出包含1個數，代表最少的花費。

Sample Input

3
5 1 2
2 1

Sample Output

5

HINT

對於100%的資料，1≤N≤2×10^5，1<Ai,Bi≤10^5

 

神仙樹形DP

一條合法的行走路徑，一定是先走完一個點的子樹，再訪問它的兄弟的子樹，訪問完了就回到父節點。以此類推。

也就是說要求從某個點出發，訪問完其子樹後回到某個祖先的最小代價。

設$f[x][i]$表示從$x$開始訪問完$x$的子樹後再走到深度為$i$的祖先(設為$kfa$)的最小代價。

設$g[x][i]$表示從$x$開始訪問完$x$的子樹後再走到深度為$i$的祖先的另外一個兒子的最小代價。

$DP$完了之後列舉最開始先點亮哪個燈然後統計答案。因為是完全二叉樹所以時空都是$nlogn$

轉移見程式碼，手畫個圖對比著理解效果應該會好一點……

 

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #define N (200009)
 4 #define LL long long
 5 #define ls (i<<1)
 6 #define rs (i<<1|1)
 7 #define kfa (i>>Depth[i]-j)
 8 using namespace
 
 std;
 9 
10 LL n,Depth[N],Dist[N],a[N],b[N],g[N][21],f[N][21],ans=1e18;
11 
12 void DP()
13 {
14     for (int i=n; i>=1; --i)
15         for (int j=0; j<=Depth[i]; ++j)
16             if (ls>n)//當前是葉子 
17             {
18                 f[i][j]=(Dist[i]-Dist[kfa])*a[kfa];
19                 g[i][j]=(Dist[i]-Dist[kfa]+b[kfa]+b[kfa^1])*a[kfa^1];
20             }
21             else if (ls==n)//只有左兒子
22             {
23                 f[i][j]=b[ls]*a[ls]+f[ls][j];
24                 g[i][j]=b[ls]*a[ls]+g[ls][j];
25             }
26             else//左右兒子都有 
27             {
28                 f[i][j]=min(
29                 b[ls]*a[ls]+g[ls][Depth[ls]]+f[rs][j],
30                 b[rs]*a[rs]+g[rs][Depth[rs]]+f[ls][j]);
31                 g[i][j]=min(
32                 b[ls]*a[ls]+g[ls][Depth[ls]]+g[rs][j],
33                 b[rs]*a[rs]+g[rs][Depth[rs]]+g[ls][j]);
34             }
35 }
36 
37 int main()
38 {
39     scanf("%lld",&n);
40     for (int i=1; i<=n; ++i)
41         scanf("%lld",&a[i]);
42     for (int i=2; i<=n; ++i)
43         scanf("%lld",&b[i]);
44     for (int i=1; i<=n; ++i)
45     {
46         Depth[i]=Depth[i>>1]+1;
47         Dist[i]=Dist[i>>1]+b[i];
48     }
49     DP(); 
50     for (int i=1; i<=n; ++i)//列舉最先點哪個燈統計答案 
51     {
52         LL now=f[i][Depth[i]-1];
53         for (int j=i; j!=1; j>>=1)
54             if ((j^1)>n) now+=b[j>>1]*a[j>>2];
55             else now+=b[j^1]*a[j^1]+f[j^1][Depth[j]-2];
56         ans=min(ans,now);
57     }
58     printf("%lld\n",ans);
59 }