斜率優化Convex Hull Trick

阿新 • • 發佈：2018-11-02

斜率優化

一、簡單DP

首先從一道簡單題引入。

[IOI2002]任務安排

Description

N個任務排成一個序列在一臺機器上等待完成（順序不得改變），這N個任務被分成若干批，每批包含相鄰的若干任務。從時刻0開始，這些任務被分批加工，第i個任務單獨完成所需的時間是Ti。在每批任務開始前，機器需要啟動時間S，而完成這批任務所需的時間是各個任務需要時間的總和（同一批任務將在同一時刻完成）。每個任務的費用是它的完成時刻乘以一個費用係數ci。請確定一個分組方案，使得總費用最小。

例如：S=1；T={1,3,4,2,1}；F={3,2,3,3,4}。如果分組方案是{1,2}、{3}、{4,5}，則完成時間分別為{5,5,10,14,14}，費用C={15,10,30,42,56}，總費用就是153。

Input

第一行是N(1＜=N＜=5000)。

第二行是S(0＜=S＜=50)。

下面N行每行有一對數，分別為Ti和ci，均為不大於100的正整數，表示第i個任務單獨完成所需的時間是Ti及其費用係數ci。

Output

一個數，最小的總費用。

Sample Input

1 3

3 2

4 3

2 3

1 4

Sample Output

153

Solution

“光著身子”的動態規劃。

設F[i,j]表示劃分前i個任務為j批的最小費用。

$F[i,j]=min(F[k,j-1]+(s*j+\sum_{q=k+1}^{i}t[q] ))*(\sum_{q=k+1}^{i}c[q]))$

$設$ $T[i]=\sum_{j=1}^{i}t[j]$ $C[i]=\sum_{j=1}^{i}c[i]$

$F[i,j]=min(F[k,j-1]+(s*j+T[i]-T[k] ))*(C[i]-C[k]))$

$(2D/1D)$ ，時間複雜度： $O(n^3)$ ，空間複雜度： $O(n^2)$

這顯然是不夠的。

實際上我們不一定要知道之前劃分了多少批任務，只需要記錄F[i]表示劃分前i個任務的最小費用。

$F[i]=min(F[j]+(s+T[i])*(C[i]-C[j]))+s*(C[i]-C[j])$

這樣就寫出了 $(1D/1D)$ 動態規劃方程。

二、簡單題2

將上題的n<=5000改為n<=300000。

Solution

這就是本文的重點所在了。

在上文中的 $(1D/1D)$ 動態規劃中，尚有兩種簡單的優化思路：

優化狀態：將這樣一個動態規劃轉化為貪心或數學題。
優化轉移：優化轉移的時間（主要為優化重複或不必要的轉移）。

顯然，優化狀態很難達成，那麼我們考慮優化轉移。

我們可以發現在轉移的過程中有很多的不必要的轉移：

考慮一下兩個轉移:

$F[i]=min(F[j]+(s+T[i])*(C[i]-C[j]))+s*(C[i]-C[j])$

$F[i]=min(F[k]+(s+T[i])*(C[i]-C[k]))+s*(C[i]-C[k])$

$(j<k<i)$

在此題中，若 $min(F[j]+(s+T[i])*(C[i]-C[j]))\geqslant min(F[k]+(s+T[i])*(C[i]-C[k]))$

那麼轉移 j 就是不必要的。

也就是說，若有 $(i'>i)$ 且選取轉移狀態的集合 $\begin{Bmatrix} i':& j1, &j2, &... &j\alpha \end{Bmatrix}\subseteq \begin{Bmatrix} i:& j1, &j2, &... &j\beta \end{Bmatrix}$

並且存在，後面的轉移比前面的優，則前面的轉移就是無意義的，也就是對最終答案無貢獻的了。

考慮本題，如何判斷轉移狀態是否是有用的呢？

$F[j]+(s+T[i])*(C[i]-C[j])\geqslant F[k]+(s+T[i])*(C[i]-C[k])$

$\therefore F[j]-s*c[j]-T[i]*c[j]\geqslant F[k]-s*c[k]-T[i]*c[k]$

$\therefore F[j]-f[k]+s*(c[k]-c[j])\geqslant T[i]*(c[j]-c[k])$

$\therefore \frac{F[j]-f[k]+s*(c[k]-c[j]))}{(c[j]-c[k]) }\leqslant T[i]$

也就是說，如果 $\small \frac{F[j]-f[k]+s*(c[k]-c[j]))}{(c[j]-c[k]) }\leqslant T[i]$

那麼後面的轉移比前面的優，否則前面的轉移比後面的優。

這樣的 $\small \frac{F[j]-f[k]+s*(c[k]-c[j]))}{(c[j]-c[k]) }$ ，即是用斜率的形式，表現了轉移之間的不必要的關係。

進一步，我們發現：

$\small \frac{F[j]-f[k]+s*(c[k]-c[j]))}{(c[j]-c[k]) }\leqslant T[i]\leqslant T[i+1]$

也就是說，如果當前存在後面的轉移比前面的優，那麼這個轉移在之後的狀態中都不會成為最有轉移！

根據這個性質，我們選擇用單調佇列維護一個兩點間斜率單調遞增的點集佇列。

設：

$\small g(x1,x2)=\frac{F[x1]-f[x2]+s*(c[x2]-c[x1]))}{(c[x1]-c[x2]) }$

若有 $\small g(x1,x2)\geqslant g(x2,x3)$ ，則 $\small x2$ 的轉移必然不會是最優的，於是能夠將它刪除。（維護隊尾）
若有 $\small g(x1,x2)<=T[i]$ ，則x1的轉移必然不會是最優的，於是能夠將它刪除。（維護隊首）

最後的點集佇列滿足：在隊首的點的轉移必然是最優的。

於是 $\small F[i]=F[que[head]]+(s+T[i])*(C[i]-C[que[head]])+s*(C[i]-C[que[head]])$

將轉移化為 $O(1)$ ， $(1D/0D)$ 動態規劃完成。

三、簡單題3

若 -512<=t[i]<=512 ，也就是說：

$\small T[i]\leqslant T[i+1]$ 不再成立怎麼辦呢？

我們發現：

若有 $\small g(x1,x2)\geqslant g(x2,x3)$ ，則 $\small x2$ 的轉移必然不會是最優的，於是能夠將它刪除。（維護隊尾）

這一性質依然成立，那麼這個點集集合還是會組成一個相鄰點斜率遞增的單調佇列。

有 $\small g(x1,x2)\leqslant g(x2,x3)...\leqslant g(x\alpha ,x\alpha+1 )<=T[i]<=g()...$

發現：

如果 $\small g(x\alpha ,x\alpha+1 )< T[i]$ ，那麼 $\small x\alpha +1$ 優於 $\small x\alpha$ 。
如果 $\small g(x\alpha ,x\alpha+1 )> T[i]$ ，那麼 $\small x\alpha$ 優於 $\small x\alpha +1$ 。

也就是說，答案一定存在於一個點 $\small x\alpha$ ，使得 $g(x\alpha-1,x\alpha )$ $\leqslant$ $T[i]$ 且 $g(x\alpha,x\alpha +1)$ $\geqslant$ $T[i]$

那麼 $\small x\alpha$ 必然最優。

我們可以維護單調佇列，只在隊尾刪除，每次二分查詢一個最優點。

這樣便是 $O(nlgn)$ 的斜率優化做法。

四、簡單題4

一種形式斜率優化的形式：

佇列中的點不滿足單調性。

BZOJ1492: [NOI2007]貨幣兌換Cash

Description

小Y最近在一家金券交易所工作。該金券交易所只發行交易兩種金券：A紀念券（以下簡稱A券）和 B紀念券（以下

簡稱B券）。每個持有金券的顧客都有一個自己的帳戶。金券的數目可以是一個實數。每天隨著市場的起伏波動，

兩種金券都有自己當時的價值，即每一單位金券當天可以兌換的人民幣數目。我們記錄第 K 天中 A券和 B券的

價值分別為 AK 和 BK（元/單位金券）。為了方便顧客，金券交易所提供了一種非常方便的交易方式：比例交易法

。比例交易法分為兩個方面：（a）賣出金券：顧客提供一個 [0,100] 內的實數 OP 作為賣出比例，其意義為：將

OP% 的 A券和 OP% 的 B券以當時的價值兌換為人民幣；（b）買入金券：顧客支付 IP 元人民幣，交易所將會兌

換給使用者總價值為 IP 的金券，並且，滿足提供給顧客的A券和B券的比例在第 K 天恰好為 RateK；例如，假定接

下來 3 天內的 Ak、Bk、RateK 的變化分別為：

假定在第一天時，使用者手中有 100元人民幣但是沒有任何金券。使用者可以執行以下的操作：

注意到，同一天內可以進行多次操作。小Y是一個很有經濟頭腦的員工，通過較長時間的運作和行情測算，他已經

知道了未來N天內的A券和B券的價值以及Rate。他還希望能夠計算出來，如果開始時擁有S元錢，那麼N天后最多能

夠獲得多少元錢。

Input

輸入第一行兩個正整數N、S，分別表示小Y能預知的天數以及初始時擁有的錢數。接下來N行，第K行三個實數AK、B

K、RateK，意義如題目中所述。對於100%的測試資料，滿足：0<AK≤10；0<BK≤10；0<RateK≤100；MaxProfit≤1

0^9。

【提示】

1.輸入檔案可能很大，請採用快速的讀入方式。

2.必然存在一種最優的買賣方案滿足：

每次買進操作使用完所有的人民幣；

每次賣出操作賣出所有的金券。

Output

只有一個實數MaxProfit，表示第N天的操作結束時能夠獲得的最大的金錢數目。答案保留3位小數。

Sample Input

3 100
1 1 1
1 2 2
2 2 3

Sample Output

225.000

這一題就是典型的例子。

斜率不單調，那麼就必須用cdq分治或splay維護斜率凸包解決斜率優化問題了。

下次有時間再補充。。。

斜率優化Convex Hull Trick

斜率優化

一、簡單DP

[IOI2002]任務安排

Description

Input

Output

Sample Input

Sample Output

Solution

二、簡單題2

Solution

三、簡單題3

四、簡單題4

BZOJ1492: [NOI2007]貨幣兌換Cash

Description

Input

Output

Sample Input

Sample Output

斜率優化Convex Hull Trick

Convex hull trick演算法

【bzoj4518】[Sdoi2016]征途斜率優化dp

【BZOJ4518】[Sdoi2016]征途斜率優化

【bzoj3675】[Apio2014]序列分割斜率優化dp

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【bzoj1096】倉庫建設——斜率優化dp

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HDU 3507 Print Article（斜率優化DP）

【轉】斜率優化DP和四邊形不等式優化DP整理

【BZOJ2726】[SDOI2012]任務安排斜率優化+cdq分治

Convex hull

斜率優化Convex Hull Trick

斜率優化

一、簡單DP

[IOI2002]任務安排

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Sample Input

Sample Output

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二、簡單題2

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三、簡單題3

四、簡單題4

BZOJ1492: [NOI2007]貨幣兌換Cash

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Sample Input

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