在講述這兩個演算法之前，首先有幾個概念需要明白：

二分圖: 
二分圖又稱二部圖，是圖論中的一種特殊模型。設G=(V,E)是一個無向圖，如果頂點V可以分割為兩個互不相交的子集(A,B),並且圖中的每條邊(i,j)所關聯的兩個頂點i和j分別屬於這兩個不同的頂點集(i in A, j in B), 則稱圖G是二分圖。 

匹配： 
給定一個二分圖，在G的一個子圖G’中，如果G’的邊集中的任意兩條邊都不依附於同一個頂點，則稱G’的邊集為G的一個匹配 

最大匹配： 
在所有的匹配中，邊數最多的那個匹配就是二分圖的最大匹配了 

頂點覆蓋： 
在頂點集合中，選取一部分頂點，這些頂點能夠把所有的邊都覆蓋了。這些點就是頂點覆蓋集

最小頂點覆蓋： 
在所有的頂點覆蓋集中，頂點數最小的那個叫最小頂點集合。 

獨立集： 
在所有的頂點中選取一些頂點，這些頂點兩兩之間沒有連線，這些點就叫獨立集 

最大獨立集： 
在左右的獨立集中，頂點數最多的那個集合 

路徑覆蓋： 
在圖中找一些路徑，這些路徑覆蓋圖中所有的頂點，每個頂點都只與一條路徑相關聯。 

最小路徑覆蓋： 
在所有的路徑覆蓋中，路徑個數最小的就是最小路徑覆蓋了。 
熟悉了這些概念之後，還有一個二分圖最大匹配的König定理，這個定理的內容是：最大匹配 = 最小頂點覆蓋。此處不證明其正確性。有了這個定理之後還可以得出一些二分圖特有的公式： 

最大獨立集 = 頂點個數 – 最小頂點覆蓋（最大匹配） 
這個公式，我們可以利用最大匹配來找到最大的獨立集。而最大獨立集和最小路徑覆蓋有個千絲萬縷的關係。 
對於二分圖的最大匹配，常用的求解方法是hungarian演算法和最大流演算法。以poj上的題目為例說明： 
POJ2271: 題目大意是，一群男孩和女孩共N人，某些男孩和女孩之間會發生戀愛關係（滿足一定的關係），現在希望找到最多的孩子，他們之間不會發生戀愛關係。 
分析：找到最多的孩子，沒有戀愛關係，這實質上是找最大獨立集。假設男孩在左有a個,女孩在右有b個，那麼如果某男孩和某女孩之間有關係，就連線。最大獨立集就是找到最多頂點，頂點之間沒有聯絡，正好就是所求，而最大獨立集就是 N-最大匹配，所以問題得到解決。試想，如果二分圖中沒有連線，那麼所有的孩子都可選，最大獨立集也是N,他們是等價的。如果存在一條連線，那麼去掉一個孩子就是所找的孩子，最大獨立集此時是N-1.依次類推。在試想，最大匹配其實就找到了幾對戀愛物件，假設是這樣的 
a b 
B0 G0 
B1 G1 
… … 
Bi Gi 
… … 
我們只需要把他們的另一半去掉，就是我們找的孩子。不過會有這樣的疑問，如果我取出了B1的另一半G1,B1會不會和其餘的孩子戀愛呢，比如說B1和b會戀愛，那麼好吧，去掉G1的另一半B1,這樣就不會有問題了吧。還有擔心？G1會不會和其餘的孩子戀愛呢，比如說G1和a會戀愛，不過這樣的情況是不會出現的。假如G1和a好，B1和b好，那麼最大匹配中出現的是兩條邊G1->a B1->b，而不是現在的B1和G1.所以，既然最大匹配中選擇了B1和G1,去掉他們中間的一個肯定是可行的。所以答案就是N-最大匹配了。 

POJ3692:題目大意是，一群男孩B個（他們互相認識），一群女孩G個（他們互相認識），某些男孩和某些女孩相識，現在找出最多的孩子，他們互相認識 
分析：這個題目和上面的有些相似。對於利用二分圖最大匹配演算法解題最重要不是匹配演算法本身，而是如何問題轉化為二分圖模型。一旦模型建立，就很容易了。題目要找的是一群孩子，他們之間都互相認識，也就是說這是一個團（圖的概念，任意兩個頂點之間都有連線）。可是如果直接去找團，可能比較麻煩。因為這是二分圖，自然要利用二分圖的性質。在二分圖的演算法裡面沒有找團的相關演算法，所以我們可以考慮反問題，找出最多的孩子，他們之間互不認識，這不是就是求最大獨立集嘛。建立這樣的二分圖，左邊是男孩，右邊是女孩，如果男孩和女孩不認識就連上邊，在這樣的二分圖中，找最大獨立集，其實就是找出所有的相互認識的孩子了。接下來就很容易了。此題說明模型的轉化和構圖很重要。 

POJ3041:題目大意是，一個矩陣，某些位置有小行星，有一種炸彈，一次可以炸掉一行或者一列，現在問題是需要最少用多少這樣的炸彈。 
分析：模型轉化，非常巧妙的利用二分圖來解決。利用二分圖必須有左頂點和右頂點，我們把行作為左頂點，列作為右頂點，如果該行和該列的交點有小行星，就連線。求此二分圖的最大匹配就是了。對這個問題展開思考，為什麼可以這麼轉化。其實從最小頂點覆蓋的角度來想比較好理解，左邊的頂點和右邊的頂點只有當有小行星的時候才有連線，那麼只要找到最少的頂點把所有的邊覆蓋了，那麼就是所求的解了。最小頂點覆蓋等值於最大匹配 

POJ1466:題目大意是，一群人N，某人可能是多某些人有羅曼史，性別未知，但一定是異性。找出最多的同學，他們之間無羅曼史 
分析：因為性別未知，所以可以把所有的人當成左頂點，右邊也是所有的人，建立二分圖，可以想象，這樣求出來的最大匹配是男女分開建立的二分圖的最大匹配的二倍。而題目讓找最大獨立集，所以應該是N-最大匹配/2; 

POJ1325:題目大意是，有兩臺機器，有多個任務，每個任務都可在這兩臺機器上執行，不過不同的模式需要重啟電腦，很浪費時間，現在要找出最好的排程方式，減少排程時間。 
分析：最少的頂點覆蓋最多的邊（任務），所以是最小頂點覆蓋問題 

POJ2060:題目大意，有很多人預訂出租車，如果計程車做完一個任務能夠敢到下一個任務，就不需要在排程一輛計程車了，現在請問最少需要幾輛計程車。 
分析：最小路徑問題，對任務構圖，將一個任務拆開成兩個點，建立二分圖，如果一個任務能夠完成之後趕到下個任務就連線，然後就是二分圖問題了。最小路徑等值於二分圖的最大獨立集 

POJ2226:和3041相似，不過這裡不是銷燬一行或者一列，一次只能銷燬連著的一行或者一列。可以把所有的行連續的段拿出來作為左頂點，所有的列連續的段拿出來作為右頂點，如果左段與右段之間有相交，就連線。然後求最小頂點覆蓋 
POJ1422:最小路徑覆蓋 
POJ2594:特殊的最小路徑覆蓋，每個頂點可以有多條路徑經過，這時需要事先把任意兩點之間是否能夠到達求出，然後在求路徑覆蓋。 
POJ1548:最小路徑覆蓋 
POJ3216:最小路徑覆蓋

二分圖最小頂點覆蓋的證明 
首先，回顧一下二分圖最小點覆蓋的定義： 
二分圖中，選取最少的點數，使這些點和所有的邊都有關聯（把所有的邊的覆蓋），叫做最小點覆蓋。 
最少點數=最大匹配數 
結合昨天看的介紹，，今天按照我的理解給出自己的證明（原創，僅作參考，歡迎討論） 
從最大匹配數到底能不能覆蓋所有的邊入手。 
因為已知了最大匹配，所有再也不能找到增廣路了，有最大匹配定義知。 
現在所有的邊就剩下兩種情況了，一種是匹配，一種是不匹配。 
假設所有的匹配邊有n條，那麼左右邊就都有n個匹配邊的頂點了，標記所有左邊匹配邊的頂點，則有n個。 
問題就是證明n=最小點覆蓋，即證明最大匹配數n到底能不能覆蓋所有的邊入手。 
考察右邊的匹配邊的頂點，明顯，左邊都可以找到其匹配點且為n，說明所有匹配邊已經被這左邊的n個點關聯了。 
接下來證明未匹配邊也能被這左邊的n個匹配的點關聯那麼不就證明了“，使這些點和所有的邊都有關聯（把所有的邊的覆蓋）”嗎。。 
對於剩下的未匹配邊，每條邊都有一個右邊點（顯然既然是未匹配邊，這個點自然是未匹配點）和左邊點（我將證明著些左邊點都是匹配邊的頂點，證明了這一點，也就證明了這左邊的n個點也和剩下的未匹配邊關聯了） 
假設上面說的左邊點不在這n個匹配邊的左邊點之中，那從剩下的某個未匹配邊的右邊點出發不就可以找到增廣路了嗎（想想增廣路的定義就知道了，右未匹配，左未匹配的話那就可以找到增廣路了），所以左邊點也在匹配邊之中，。所以就證明了剩下的未匹配邊關聯的範圍也在這左邊的n個匹配點的範圍內力了。 
也就證明了這n個左邊匹配邊的點既也右邊匹配邊關聯，也與右邊未匹配邊關聯了，即與所有邊關聯了。 
那麼按照最小覆蓋的定義，接下來只要證明這個n是做小值就行了。 
假設可以比n小，那就相當於隨便刪一些匹配邊，那麼這些刪除了邊的右邊點就沒人匹配了，也就不滿足與所以邊關聯了，所以矛盾，所有n就是最小值。 
故得證。 
主要從最小覆蓋的定義的兩個要點（1，能不能關聯所有的邊。2，最小）來證明最大匹配的所有左邊點就滿足這個要求，匹配邊有n條那自然匹配邊的左邊點就有n個了。

轉載自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_5ceeb9ea0100l08n.html

性質： 
最大團 = 補圖的最大獨立集

最小邊覆蓋 = 二分圖最大獨立集 = |V| - 最小路徑覆蓋

最小路徑覆蓋 = |V| - 最大匹配數

最小頂點覆蓋 = 最大匹配數

最小頂點覆蓋 + 最大獨立數 = |V|

最小割 = 最小點權覆蓋集 = 點權和 - 最大點權獨立集