Manacher演算法[O(n)]
問題描述:
輸入一個字串,求出其中最大的迴文子串。子串的含義是:在原串中連續出現的字串片段。迴文的含義是:正著看和倒著看相同,如abba和yyxyy。
演算法基本要點:
首先用一個非常巧妙的方式,將所有可能的奇數/偶數長度的迴文子串都轉換成了奇數長度:在每個字元的兩邊都插入一個特殊的符號。
比如 abba 變成 #a#b#b#a#, aba變成 #a#b#a#。 為了進一步減少編碼的複雜度,可以在字串的開始加入另一個特殊字元,這樣就不用特殊處理越界問題,比如$#a#b#a#。
下面以字串12212321為例,經過上一步,變成了 S[] = "$#1#2#2#1#2#3#2#1#";
然後用一個數組 P[i] 來記錄以字元S[i]為中心的最長迴文子串向左/右擴張的長度(包括S[i]),比如S和P的對應關係:
S # 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 3 # 2 # 1 # P 1 2 1 2 5 2 1 4 1 2 1 6 1 2 1 2 1 (p.s. 可以看出,P[i]-1正好是原字串中迴文串的總長度)
下面計算P[i],該演算法增加兩個輔助變數id和mx
其中id表示最大回文子串中心的位置
mx則為id+P[id],也就是最大回文子串的邊界。
這個演算法的關鍵點就在這裡了:如果mx > i,那麼P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)。
具體程式碼如下:
if(mx > i) { p[i] = (p[2*id - i] < (mx - i) ? p[2*id - i] : (mx - i)); } else { p[i] = 1; }
當 mx - i > P[j] 的時候,以S[j]為中心的迴文子串包含在以S[id]為中心的迴文子串中,由於 i 和 j 對稱,以S[i]為中心的迴文子串必然包含在以S[id]為中心的迴文子串中,所以必有 P[i] = P[j],見下圖。
當 P[j] > mx - i 的時候,以S[j]為中心的迴文子串不完全包含於以S[id]為中心的迴文子串中,但是基於對稱性可知,下圖中兩個綠框所包圍的部分是相同的,也就是說以S[i]為中心的迴文子串,其向右至少會擴張到mx的位置,也就是說 P[i] >= mx - i。
至於mx之後的部分是否對稱,就只能一個一個匹配了。
對於 mx <= i 的情況,無法對 P[i]做更多的假設,只能P[i] = 1,然後再去匹配了
下面給出原文,進一步解釋演算法為線性的原因
原始碼:
#include <iostream> #include <string> #include <cstring> using namespace std; void findBMstr(string& str) { int *p = new int[str.size() + 1]; memset(p, 0, sizeof(p)); int mx = 0, id = 0; for(int i = 1; i <= str.size(); i++) { if(mx > i) { p[i] = (p[2*id - i] < (mx - i) ? p[2*id - i] : (mx - i)); } else { p[i] = 1; } while(str[i - p[i]] == str[i + p[i]]) p[i]++; if(i + p[i] > mx) { mx = i + p[i]; id = i; } } int max = 0, ii; for(int i = 1; i < str.size(); i++) { if(p[i] > max) { ii = i; max = p[i]; } } max--; int start = ii - max ; int end = ii + max; for(int i = start; i <= end; i++) { if(str[i] != '#') { cout << str[i]; } } cout << endl; delete p; } int main() { string str = "12212321"; string str0; str0 += "$#"; for(int i = 0; i < str.size(); i++) { str0 += str[i]; str0 += "#"; } cout << str0 << endl; findBMstr(str0); return 0; }