分治演算法的一個基礎定理如下

定理1：若，則方程的解是

意思是，把原問題分解成若干子問題，若這些子問題的規模之和沒有原問題大，那麼再加上處理這些子問題的時間，演算法的時間界是

選擇問題：在N個數中抽取第k小的，有幾種解法：

1.可以用優先佇列得到一個或者的時間，若k是中位數那麼時間就是

2.可以使用快速選擇演算法，每次處理一個不到原問題的子問題和線性附加時間，平均時間，但是無法保證樞紐元的壞選擇，因此最壞時間是

3.先將元素排序，自然可以得到第k小的數字，時間是

以上幾種解法中，快速選擇演算法在實踐中應用最好，但是仍然無法達到最壞時間，根本原因是樞紐元的選擇無法保證定理1成立。一般樞紐元的選擇是三數中值法，但是若3個數都是最大元，那麼是壞選擇；可以增加使用的數字數量，用常數時間排序，得到中位數，由於按照定理1只能有常數附加時間，因此使用的數字個數最多可以達到

五分化中項的中項：改進樞紐元選擇如下：

1.把N個元素分成組，5個元素一組，剩餘不到5個的一組可以忽略

2.找出每組的中項，得到箇中項的表M

3.求出M的中項，將其作為樞紐元返回

定理2：使用五分化中項的中項進行樞紐元選擇，快速選擇演算法最壞時間

證明：

設，可以這樣假設不影響時間界的計算，如下圖：

其中，每一列是5個元素的一組，中間的格子是5個元素的中項，第三行就是所有中項，所有中項的中項用Mid表示，一共2k+1組，顯然有k組中，每組有3個元素比Mid大，一共3k個元素，Mid自己所在的組有2個比Mid大，一共3k+2個一定比Mid大的，比Mid小的數字數量同理，這樣每次處理的子問題大小最大可以達到0.7N，就是原問題的0.7倍。

到這裡得到了子問題最壞的大小，還有兩項附加工作要做：

1.在每個組中，在5個元素中選擇中項花費時間是常數，所有組就是時間

2.在0.2N箇中項中選擇中項，若用排序，那麼需要時間，顯然不行，因此需要對這些數字遞迴呼叫選擇演算法

綜上，一次遞迴呼叫，解決0.7N大小和0.2N大小的兩個子問題，加上O(N)線性時間，滿足定理1要求，得到一個的最壞時間