題面

題意

一個集合如果是完美的，則集合如果包含a，b，那麼a^b也一定在這個集合內，求所有最大數小於等於n的集合數量。

做法

對於完美集合，我們可以發現一個線性基一定對應一個合法的完美集合，因此我們可以對線性基進行數位dp，因為一個完美集合可以對應多種線性基，所以可以通過高斯消元使其唯一，也就是說，對於一個經過高斯消元的線性基的每一位，如果它是某個基的最高位，則只有那一個基的這一位為1，反之任何最高位大於這一位的基的這一位可以為任意數（滿足最大值小於等於n時），且所有基的異或值即為這個線性基所能表示的最大值。
因此可以進行數位dp,dp[i][j][k]表示當前考慮的位為第i位，已經選了j個基，k表示其是否受k的性質。

當不受n的限制時，即無論後面幾位怎麼樣，其最大值都不會大於n：
若新增以i為最高位的基時，dp[i][j][0]可以轉移到dp[i-1][j+1][0]，且只有一種轉移方式，因為前j個基的這一位都是0.
若不新增以i為最高位的基時，dp[i][j][0]可以轉移到dp[i-1][j][0]，且有(1 << j)種轉移方式，因為前j個基的這一位可以為任意數.

當受到n的限制時:
如果n的第i位為0：
顯然不能新增以i位最高位的基，否則異或值必將大於n，而且前j個基的這一位不能隨便選，要保證前j位的異或值的第i位為0，即前j個基種一共有偶數個基的這一位是1，這可以用組合數去算，也就是說dp[i][j][1]可以轉化到dp[i-1][j][1],有F(j,0)種轉移方式。
F(j,0)=C(j,0)+C(j,2)+C(j,4)…

如果n的第i位為1：
若新增以i這一位為最高位的基，則同理，僅一種轉移：dp[i][j][1]轉移到dp[i-1][j+1][1]
若不新增，則有以下兩種情況：
1.前j位中，第i位為1的數一共有偶數個時，則最大值的第i位一定為0，此線性基的最大值一定小於n，因此dp[i][j][1]可以轉移到dp[i-1][j][0],有F(j,0)中轉移方式。
2.前j位中，第i位為1的數一共有奇數個時，則最大值的第i位為1，此線性基的前j+1位仍然與n相同，其最大值不一定小於n，故dp[i][j][1]可以轉移到dp[i-1][j][1],有F(j,1)中轉移方式。
F(j,1)=C(j,1)+C(j,3)+C(j,5）…

程式碼

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
#define N 40
#define M 1000000007
using namespace std;

ll n,m,C[N][N],cnt[N][2],dp[N][N][2],ans;

inline void add(ll &u,ll v)
{
	u+=v;
	u%=M;
}

int main()
{
	ll i,j;
	cin>>n;
	for(i=1;i<=n;i<<=1,m++);
	for(i=0; i<=m; i++)
	{
		C[i][0]=C[i][i]=1;
		for(j=1; j<i; j++)
		{
			C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%M;
		}
		for(j=0; j<=i; j++)
		{
			add(cnt[i][j&1],C[i][j]);
		}
	}
	
	dp[m][0][1]=1;
	for(i=m; i>=1; i--)
	{
		for(j=0; j<=m; j++)
		{
			add(dp[i-1][j][0],dp[i][j][0]*(1 << j)%M);
			add(dp[i-1][j+1][0],dp[i][j][0]);
			if((1 << (i-1))&n)
			{
				add(dp[i-1][j][0],dp[i][j][1]*cnt[j][0]%M);
				add(dp[i-1][j][1],dp[i][j][1]*cnt[j][1]%M);
				add(dp[i-1][j+1][1],dp[i][j][1]);
			}
			else add(dp[i-1][j][1],dp[i][j][1]*cnt[j][0]%M);
		}
	}
	
	for(i=0; i<=m; i++)
	{
		add(ans,dp[0][i][0]+dp[0][i][1]);
	}
	cout<<ans;
}