0. 問題背景 （本課題為九年級組探究課題）

在中國象棋中，馬的走法是一直一斜，棋諺“馬走日字”（本質上說，“馬走日字”是走1×2 矩形的對角線）。從棋盤上任意一點出發，馬能跳到任意的一個點。

4. 一個走“目”的“千里馬”在整幅棋盤上，能否從任意一點，跳到指定點？

分析與解答

如上圖所示，我們假設“千里馬”是一隻蟲子，每次走一個“目”字，都需要爬過4個格子，即從A向一個方向走3格，轉90°再走1格。這樣，從A出發的任何路徑上的每一個能走到的點，距離A的“距離”（即經過的格子數）都是4的倍數，即一個偶數。而從黑色格子（A）出發，終點為白色格子（B），必然需要經過奇數個格子。因此，走“目”字的千里馬，從A走到B是不可能的，並且這和棋盤的大小無關。

另一種解法

上述結論還有另一個解法，也比較容易理解。

如上圖所示，從一個黑色格子出發，下一步必然也在黑色格子中（即必然停留在同色格子內）。因此，無論如何都不可能從黑色格子走到白色格子，反之也一樣。

研究與拓展

那麼在10×9的整幅棋盤中，從任意一個位置出發，可以跳到的位置的範圍是如何的呢？下面我來證明在棋盤中，任意黑色的格子之間可以相互走到，白色的格子之間也可以相互走到。當然，前文已經證明了黑白之間是走不到的。

假設左上角的黑色格子為起點，我採用“寬度優先搜尋”的演算法思想來構造走法。圖中左上角標號為1，圖中任意標號為i（i > 1）的格子，必然可以找到一個標號為i -1 的格子，通過千里馬走到它。實際上標號就表示為從左上角出發，能到達這個格子的最短步數。也就是說，如果從左上角出發，任意黑色格子，最遠只需要跳5步（最大標號6減去1）即可到達。

那麼從左上角出發，到每一個黑色格子的路徑，最終形成了一個樹狀結構，根節點（出發點）即為左上角的格子。對於任意兩個黑色格子，只要從其中一個格子出發，先到達兩個黑色格子的公共祖先（共同擁有的上級祖先），當然這裡最遠可以回到起點，然後再沿路跳轉下去就可到達另一個黑色格子。即任意兩個黑色格子之間，都存在路徑可以到達。

用類似的方法，我們來構造白色格子間的樹形結構。

如上圖所示，以第一行第二列為起點，遍歷結構和前文的黑色格子完全相同。同樣方法可以證明，任意白色格子間也可以相互走到。

綜上所述，把每個格子看作一個節點，將兩兩之間能跳到的格子間連邊，通過這樣的建圖的方式，整幅10×9的棋盤的90個節點的圖，實際上被構造成了兩個互不聯通的圖。一個由所有黑色格子構成，另一個由白色格子構成，兩個圖中兩兩可達（即強連通），但兩個圖之間沒有任何交集。

…… 後續問題探究 

上文我首先證明了如果是“目”字跳躍的馬，是不可能遍歷整個棋盤的，和棋盤的大小無關。同時還構造出在整幅棋盤中，黑色格子和白色格子為起點的馬，採用“目”字跳躍的遍歷範圍，且最遠只要跳 5 次就可以了。

現在問題來了，馬的跳躍方法從“日”拓展到了到“目”，那麼如果是一個 1 x n 的“千里馬”呢？在一個無限大的棋盤裡，這個“千里馬”能從任意指定點出發，跳躍到另一個指定點麼？