這裡寫自定義目錄標題

• 背景
• 從方程到函式
• 空間與座標系

背景

進入研究生學習，看了很多論文，原來越感覺自己的數學功底不行，很多時候在工程裡面還是隻能使用高中的數學方法解決實際問題，雖然效果不佳，但是實在是無法應用更高層次的數學知識，因此，決定要好好補一下自己的數學知識，至少腦子裡應該有一個完整的知識框架。每一部分框架內的數學知識能解決什麼問題，這應該是要清楚的。碰到具體問題可以再翻閱檢視，針對性解決。

從方程到函式

我們先一路回顧小初高的知識：小學的時候，我們學習“速度-路程-時間”、“單價-總價-數量”等最簡單的數學模型。這裡面沒有用到任何字母表示的形式，沒有數學抽象，因此非常容易理解。
我們可以用一些簡單的等式表示：

• “速度-路程-時間”關係：60km/h（速度）x2h(時間)=120km（路程）

這裡面全部都是數字，符合人類最初的直觀性的理解，因此容易被接受。但是我們在小學階段，也學習過類似這樣的問題：開車行駛的總路程是600km，一共行駛了10個小時，每小時是多少千米？
這裡面實際上已經開始默默地接受方程的思想，只是還沒有開始使用未知數x，也沒有正式開始列方程。這一步可以看做從純數字的數學等式進行第一層抽象，抽象成一元一次方程。比如，我們這裡設：每小時是x千米，我們就可以得到如下方程：

• x=600/10

只要我們得到了一元一次方程，後面自然而然地很多擴充套件就順理成章了。比如，我們可以首先從方程擴充套件到一次函式。方程揭示的等量關係，而函式揭示的則是變數之間的關係，更具一般性。我們研究一個變數的非線性關係，自然從一次函式誕生了一元二次函式，三次函式等等，或者高中的冪指對函式；我們研究多個變數的線性關係，自然誕生了多元函式，從多元函式往後退一步可以組成線性方程組，線性方程組的解法就可以引入行列式。這樣一條知識網路就可以串起來。

空間與座標系

• 線性代數裡面的線性主要的意思就是線性空間裡的線性變換。線性變換或線性對映是把中學的線性函式概念進行了重新定義，強調了函式的變數之間的變換的意義。線性函式的概念在初等數學和高等數學中含義不盡相同（高等數學常常把初等數學的關鍵概念進行推廣或進一步抽象化，初等數學的概念就變成了高等數學概念的一個特例）。

• 那麼所謂“線性”的代數意義是什麼呢？實際上，最基本的意義只有兩條：可加性和比例性。用數學的表達來說就是：對加法和數乘封閉。

• 對於數學來說，數學家定義的空間裡裝載的當然是能運算的東西。從拓撲空間開始，一步步往上加定義，可以形成很多空間。線形空間其實還是比較初級的，如果在裡面定義了範數，就成了賦範線性空間。賦範線性空間滿足完備性，就成了巴那赫空間；賦範線性空間中定義角度，就有了內積空間，內積空間再滿足完備性，就得到希爾伯特空間，如果空間裡裝載所有型別的函式，就叫泛函空間。