Description

求 $\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\underset{}{\overset{}{\sum }}$

Solution

我們欽定 $a>b$
首先證明 $gcd(a,b)\leq a-b$
$gcd(a,b)=gcd(b,a-b)\leq a-b$，由輾轉相減可知等式成立，且a和b的約數不大於min(a,b)

然後有 $a\oplus b\geq a-b$
我們把 $a$中是0且 $b$中是1的位置交換，記為 $a'$和 $b'$
有 $a'\oplus b'=a'-b'=a\oplus b$
然後就可以發現 $a\oplus b=a'-b'\geq a-b$是成立的

綜合一下看可以發現 $gcd(a,b)=a\oplus b=a-b$
令 $c=a-b$，有 $gcd(a,b)=gcd(b,a-b)=a\oplus b$
然後套c進去有 $gcd(b,c)=c$，於是我們列舉c，列舉c的倍數就可以nlogn做了

Code

口胡題解不寫程式碼