求證

證明

聽說這是一個非常有用的定理，那麼就來隨便證(luan)明(gao)一下

Part 1

gcd(Fn,Fn−1)=1
證明：gcd(Fn,Fn−1)=gcd(Fn−Fn−1,Fn−1)=gcd(Fn−2,Fn−1)……
歸納得證

Part 2

Fn+m=Fn−1Fm+FnFm+1
首先對於m=1顯然成立
對於m=2推一下也成立
然後我們來歸納一發，若m=k-1和m=k成立，那麼m=k+1也成立

Part 3

gcd(Fn+m,Fn)=gcd(Fn,Fm)
證明：gcd(Fn+m,Fn)=gcd(Fn−1Fm+FnFm+1,Fn)=gcd(Fn−1Fm,Fn)=gcd(Fm,Fn)
得證

Part 4

gcd(Fn,Fm)=Fgcd(n,m)
Part 3 的結論也可以寫作gcd(Fn,Fm)=gcd(Fn−m,Fm)
然後就是輾轉相除法來歸納一發就好了

以上本定理得證