NOIP2018模擬賽Potato

題目

分析

考慮動態規劃。
首先考慮到產生一個 $j$級土豆的條件是有兩個 $j-1$

級的土豆。
由於每次都把土豆往左移，所以每次都是後面空出來一塊盒子讓你放。
於是可以Dp，先求當前一共有 $i$個盒子，產生了一個 $j$級土豆的概率。（接下來都假設有 $i$

i 個盒子）
$a\left[i\right]\left[j\right]=$

a [ i − 1 ] [ j − 1 ] ⋅ a [ i ] [ j − 1 ] a[i][j]=a[i-1][j-1]\cdot a[i][j-1]
考慮產生一個 $j$級土豆，並且之後不再產生任何高於 $j$級土豆的概率。
$A[i][j]=a[i][j]\cdot(1-a[i-1][j])$
因為如果連一個 $j$級土豆都沒有產生的話，一定不會有更高階的土豆出現。
在此基礎上，求最終第 $i$個位置上是 $j$級土豆， $[i,i+n]$內的所有土豆等級和的期望。
$f[i][j]=j+E_{k=1}^{j-1}(f[i+1][k], A[n - i][k])$
其中 $E$表示的是加權平均，也就是
$E(x_i,w_i)=\frac{\sum x_i\cdot w_i}{\sum w_i}$
也就是考慮 $i+1$個位置上最終為 $k$級別的土豆的期望：先產生一個 $k$級別的土豆，之後都不在產生 $k$級別的土豆，在此基礎上乘上這個情況下之後所有土豆等級和的期望。
但是要特殊考慮一種情況，就是 $j=1$，這種情況下 $i+1$位置只能直接產生一個 $2$級的土豆。
所以額外新建狀態， $b[i][j]$表示最開始放了一個 $2$級的土豆，合成了 $j$的土豆的概率， $B[i][j]$表示之後都不再產生高於 $j$級別的土豆。轉移方程：
$b[i][j]=b[i][j-1]\cdot(1-a[i-1][j-1])$
$B[i][j]=b[i][j]\cdot (1-a[i-1][j])$
$f[i][1]=E_{k=2}^{inf}(f[i+1][k],B[n-i][k])$
最終的答案是 $Ans=\sum_{k=1}^{inf}(f[1][k]\cdot A[n][k])$
轉移的複雜度是 $O(n^3)$的，只能通過 $Subtask4$
然而不難發現，土豆等級越高產生的概率應該是指數級別下降的。所以考慮捨去大於某個等級的土豆（標解捨去的是50級以上的土豆）
這樣的話，當 $n\ge 50$的時候 $i+1->i$的轉移方程是一模一樣的，採用矩陣優化即可。
複雜度 $O(50^3logn)$

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
int ri() {
	char c = getchar(); int x = 0, f = 1; for(;c < '0' || c > '9'; c = getchar()) if(c == '-') f = -1;
	for(;c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) - '0' + c; return x * f;
}
double a[52][52], b[52][52], s[52][52], f[52][52];
struct Maxtir {
	double m[52][52];
	Maxtir() {memset(m, 0, sizeof(m));}
	double *operator[](int i) {return m[i];}
	Maxtir operator * (Maxtir b) {
		Maxtir c;
		for(int i = 1;i <= 51; +